In lineaire algebra, de determinant Van een vierkante matrix is ​​een scalaire waarde die informatie biedt over de eigenschappen en het gedrag van de matrix. Het wordt aangeduid door det (a) of | a | , waar a de matrix is.

Eigenschappen van determinanten:

* Scalaire vermenigvuldiging: De bepalende factor voor een scalair veelvoud van een matrix is ​​gelijk aan de scalaire die is verhoogd tot het vermogen van de volgorde van de matrix vermenigvuldigd door de determinant van de oorspronkelijke matrix:det (ka) =k^n det (a), waarbij n de volgorde van de matrix is.

* Transponeren: De bepalende factor van een matrix is ​​gelijk aan de bepalende factor van zijn transponering:det (a) =det (a^t).

* rij/kolombewerkingen: Elementaire rij of kolombewerkingen op een matrix beïnvloeden de determinant als volgt:

* Ruilen van twee rijen/kolommen verandert het teken van de determinant.

* Het vermenigvuldigen van een rij/kolom met een scalair vermenigvuldigt de determinant met die scalaire.

* Het toevoegen van een veelvoud van de ene rij/kolom aan een andere rij/kolom verandert de determinant niet.

* Inverteerbare matrices: Een vierkante matrix is ​​omkeerbaar als en alleen als de determinant niet nul is.

* lineaire afhankelijkheid: Als de rijen of kolommen van een matrix lineair afhankelijk zijn, is de determinant de bepalende factor nul.

Berekening van determinanten:

* voor 2x2 matrices:

Det ([[a, b], [c, d]]) =ad - bc

* voor 3x3 matrices:

Det ([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]) =a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - bijv.

* voor grotere matrices:

Determinanten van grotere matrices kunnen worden berekend met behulp van verschillende methoden, zoals cofactoruitbreiding, Gaussiaanse eliminatie of met behulp van gespecialiseerde algoritmen.

Toepassingen van determinanten:

* Lineaire vergelijkingen oplossen: Determinanten worden gebruikt in de regel van Cramer om systemen van lineaire vergelijkingen op te lossen.

* Eigenwaarden vinden: Determinanten worden gebruikt om de eigenwaarden van een matrix te vinden.

* Berekengebieden en volumes: Determinanten kunnen worden gebruikt om het gebied van een parallellogram en het volume van een parallellepiped te berekenen.

* Geometrische transformaties: Determinanten worden gebruikt in geometrie om de schaalfactor van lineaire transformaties weer te geven.

Voorbeeld:

Beschouw de matrix a =[[2, 1], [3, 4]].

De bepalende factor van A is:

Det (a) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.

Omdat de determinant niet nul is, is de matrix A omkeerbaar.