De Schrodinger-vergelijking is de meest fundamentele vergelijking in de kwantummechanica en het is essentieel voor elke beginnende natuurkundige om te leren hoe deze te gebruiken en wat het betekent. De vergelijking is vernoemd naar Erwin Schrödinger, die in 1933 samen met Paul Dirac de Nobelprijs won voor hun bijdragen aan de kwantumfysica.

De vergelijking van Schrodinger beschrijft de golffunctie van een kwantummechanisch systeem, dat probabilistische informatie geeft over de locatie van een deeltje en andere waarneembare hoeveelheden zoals het momentum. Het belangrijkste dat je je zult realiseren over de kwantummechanica nadat je de vergelijking hebt geleerd, is dat de wetten in het kwantumrijk erg verschillen van die van de klassieke mechanica.
De Wave-functie

De Wave-functie is één van de belangrijkste concepten in de kwantummechanica, omdat elk deeltje wordt vertegenwoordigd door een golffunctie. Het krijgt meestal de Griekse letter psi ( Ψ
) en is afhankelijk van positie en tijd. Wanneer je een uitdrukking hebt voor de golffunctie van een deeltje, vertelt het je alles wat bekend kan zijn over het fysieke systeem, en verschillende waarden voor waarneembare hoeveelheden kunnen worden verkregen door er een operator op toe te passen.

Het vierkant van de modulus van de golffunctie vertelt u de waarschijnlijkheid van het vinden van het deeltje op een positie x
op een bepaald tijdstip t
. Dit is alleen het geval als de functie "genormaliseerd" is, wat betekent dat de som van de vierkante modulus over alle mogelijke locaties gelijk moet zijn aan 1, dat wil zeggen dat het deeltje zeker is dat het ergens staat
.

Merk op dat de golffunctie alleen probabilistische informatie geeft, en dus u het resultaat van een enkele waarneming niet kunt voorspellen, hoewel u het gemiddelde over veel metingen kunt bepalen.

U kunt de golffunctie gebruiken om de "verwachtingswaarde" te berekenen voor de positie van het deeltje op t
, waarbij de verwachtingswaarde de gemiddelde waarde is van x
you zou verkrijgen als u de meting vele malen zou herhalen.

Nogmaals, dit zegt niets over een bepaalde meting. In feite is de golffunctie meer een waarschijnlijkheidsverdeling voor een enkel deeltje dan iets concreet en betrouwbaar. Door de juiste operator te gebruiken, kunt u ook verwachtingswaarden verkrijgen voor momentum, energie en andere waarneembare grootheden.
De Schrodinger-vergelijking

De Schrodinger-vergelijking is een lineaire partiële differentiaalvergelijking die de evolutie van een kwantumtoestand beschrijft in een soortgelijke manier als de wetten van Newton (in het bijzonder de tweede wet) in de klassieke mechanica.

De Schrodinger-vergelijking is echter een golfvergelijking voor de golffunctie van het betreffende deeltje, en dus het gebruik van de vergelijking om voorspellen dat de toekomstige toestand van een systeem soms 'golfmechanica' wordt genoemd. De vergelijking zelf is afgeleid van het behoud van energie en is opgebouwd rond een operator genaamd de Hamiltoniaan.

De eenvoudigste vorm van de Schrodinger-vergelijking om op te schrijven is:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ gedeeltelijke}} {\\ gedeeltelijke t}

Waar ℏ de constante van de gereduceerde Planck is (dwz de constante gedeeld door 2π) en H
is de Hamiltoniaanse operator , wat overeenkomt met de som van de poten tial energy en kinetische energie (totale energie) van het kwantumsysteem. De Hamiltoniaan is echter een vrij lange uitdrukking, dus de volledige vergelijking kan worden geschreven als:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ gedeeltelijke ^ 2 Ψ} {\\ gedeeltelijke x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ gedeeltelijkeΨ} {\\ gedeeltelijke t}

Merk op dat soms (voor expliciet driedimensionale problemen), de eerste gedeeltelijke afgeleide wordt geschreven als de Laplaciaanse operator ∇ ^{2 . In wezen werkt de Hamiltoniaan op de golffunctie om de evolutie in ruimte en tijd te beschrijven. Maar in de tijdonafhankelijke versie van de vergelijking (dwz wanneer het systeem niet afhankelijk is van t
) geeft de Hamiltoniaan de energie van het systeem.}

De Schrodinger-vergelijking oplossen betekent vinden de kwantummechanische golffunctie die voldoet aan een bepaalde situatie.
De tijdsafhankelijke Schrodinger-vergelijking

De tijdafhankelijke Schrodinger-vergelijking is de versie uit de vorige sectie en beschrijft de evolutie van de golf functie voor een deeltje in tijd en ruimte. Een eenvoudig te overwegen geval is een vrij deeltje omdat de potentiële energie V
\u003d 0, en de oplossing de vorm heeft van een vlakke golf. Deze oplossingen hebben de vorm:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Waar k
\u003d 2π / λ,
λ
is de golflengte , en ω
\u003d E
/ℏ.

Voor andere situaties beschrijft het potentiële energiedeel van de oorspronkelijke vergelijking de randvoorwaarden voor het ruimtelijke deel van de golffunctie, en het wordt vaak gescheiden in een tijdevolutiefunctie en een tijdonafhankelijke vergelijking.
De tijdonafhankelijke Schrodinger-vergelijking

Voor statische situaties of oplossingen die staande golven vormen (zoals de potentiële bron, " particle in a box ”-stijloplossingen), kunt u de wave-functie in tijd- en ruimtedelen scheiden:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

Wanneer u dit volledig doorloopt, het tijdgedeelte kan worden geannuleerd, waardoor een vorm van de Schrodinger-vergelijking overblijft die alleen
afhankelijk is van de positie van het deeltje. De tijdonafhankelijke golffunctie wordt dan gegeven door:
H Ψ (x) \u003d E Ψ (x)

Hier E
is de energie van het kwantummechanische systeem, en H
is de Hamiltoniaanse operator. Deze vorm van de vergelijking neemt de exacte vorm aan van een eigenwaarde-vergelijking, waarbij de golffunctie de eigenfunctie is, en de energie de eigenwaarde is wanneer de Hamiltoniaanse operator erop wordt toegepast. De Hamiltoniaan uitbreidend naar een meer expliciete vorm, kan volledig worden geschreven als:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ gedeeltelijke ^ 2 Ψ} {\\ gedeeltelijke x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

Het tijdsdeel van de vergelijking is opgenomen in de functie:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrodinger-vergelijking

De tijdonafhankelijke Schrodinger-vergelijking leent zich goed voor vrij eenvoudige oplossingen omdat deze de volledige vorm van de vergelijking afdaalt. Een perfect voorbeeld hiervan is de "deeltje in een doos" groep oplossingen waarbij het deeltje verondersteld wordt in een oneindige vierkante potentiaal in één dimensie te zijn, dus er is nul potentiaal (dwz V
\u003d 0) overal, en er is geen kans dat het deeltje buiten de put wordt gevonden.

Er is ook een eindige vierkante put, waar het potentieel aan de "muren" van de put niet oneindig is en zelfs als het hoger dan de energie van het deeltje, is er enige mogelijkheid om het deeltje daarbuiten te vinden vanwege kwantumtunneling. Voor de oneindige potentiële bron hebben de oplossingen de vorm:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Waar L
de lengte van de put is.

Een delta-functiepotentiaal is een zeer vergelijkbaar concept met de potentiële put, behalve met de breedte L
naar nul (dat wil zeggen oneindig klein rond een enkel punt) en de diepte van de put die tot in het oneindige gaat, terwijl het product van de twee ( U
_{0) constant blijft. In deze zeer geïdealiseerde situatie is er slechts één gebonden toestand, gegeven door:
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}}

Met energie:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Waterstofatoomoplossing voor de Schrodinger-vergelijking

Ten slotte heeft de waterstofatoomoplossing voor de hand liggende toepassingen in de echte fysica, maar in de praktijk kan de situatie voor een elektron rond de kern van een waterstofatoom worden gezien als vrij gelijkaardig aan de potentiële putproblemen. De situatie is echter driedimensionaal en kan het beste worden beschreven in sferische coördinaten r
, θ
, ϕ
. De oplossing wordt in dit geval gegeven door:
Ψ (x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Waar P
zijn de Legendre-polynomen, R
zijn specifieke radiale oplossingen en N
is een constante die u oplost met behulp van het feit dat de golffunctie moet worden genormaliseerd. De vergelijking levert energieniveaus op gegeven door:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Waar Z
hier het atoomnummer is (dus Z
\u003d 1 voor een waterstofatoom), e
is in dit geval de lading van een elektron (in plaats van de constante e
\u003d 2.7182818 ...), ϵ
_{0 is de permittiviteit van de vrije ruimte en μ
is de gereduceerde massa, die is gebaseerd op de massa's van het proton en het elektron in een waterstofatoom. Deze uitdrukking is goed voor elk waterstofachtig atoom, wat betekent elke situatie (inclusief ionen) waarin er één elektron in een baan om een centrale kern draait.}