In de geometrie is een achthoek een polygoon met acht zijden. Een gewone achthoek heeft acht gelijke zijden en gelijke hoeken. De reguliere achthoek wordt algemeen herkend van stopborden. Een octaëder is een achtzijdige veelvlak. Een gewone octaëder heeft acht driehoeken met randen van gelijke lengte. Het is effectief dat twee vierkante piramides elkaar ontmoeten op hun bases.

Octagon gebiedsformule

De formule voor het gebied van een gewone achthoek met zijden van lengte "a" is 2 (1 + sqrt (2 )) a ^ 2, waarbij "sqrt" de vierkantswortel aangeeft.

Derivation

Een achthoek kan worden bekeken als 4 rechthoeken, één vierkant in het midden en vier gelijkbenige driehoeken in de hoeken.

Het vierkant is van gebied a ^ 2.

De driehoeken hebben zijden a, a /sqrt (2) en a /sqrt (2), volgens de stelling van Pythagoras. Daarom heeft elk een oppervlakte van ^ 2/4.

De rechthoeken zijn van gebied a * a /sqrt (2).

De som van deze 9 gebieden is 2a ^ 2 ( 1 + sqrt (2)).

Octahedron Volume Formula

De formule voor het volume van een gewone octaëder met zijden "a" is een ^ 3 * sqrt (2) /3.

Afleiding

Het gebied van een vierzijdige piramide is basisgebied * hoogte /3. Het gebied van een gewone achthoek is daarom 2 * basis * hoogte /3.

Base = a ^ 2 triviaal.

Kies twee aangrenzende hoekpunten, zeg "F" en "C." "O" staat centraal. FOC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met basis "a", dus OC en OF hebben lengte a /sqrt (2) volgens de stelling van Pythagoras. Dus height = a /sqrt (2).

Dus het volume van een gewone octaëder is 2 * (a ^ 2) * a /sqrt (2) /3 = a ^ 3 * sqrt (2) /3.

Oppervlakte

Het oppervlak van de reguliere octaëder is het gebied van een gelijkzijdige driehoek van zijde "a" maal 8 vlakken.

Om de stelling van Pythagoras te gebruiken, laat een lijn van de top naar de basis. Hiermee worden twee rechthoekige driehoeken gemaakt, met de schuine zijde van lengte "a" en een zijde lengte "a /2". Daarom moet de derde zijde sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a /2 zijn. Dus het gebied van een gelijkzijdige driehoek is height * base /2 = sqrt (3) a /2 * a /2 = sqrt (3) a ^ 2/4.

Met 8 zijden, het oppervlak van een gewone octaëder is 2 * sqrt (3) * a ^ 2.