Veel studenten vinden het moeilijk om de afstand tussen twee punten op een rechte lijn te vinden, het is een grotere uitdaging voor hen om de afstand tussen twee punten langs een curve te vinden. Dit artikel, bij wijze van voorbeeld, zal laten zien hoe deze afstand te vinden is.

Om de afstand te vinden tussen twee punten A (x1, y1) en B (x2, y2) op een rechte lijn op de xy-vlak, gebruiken we de Afstandformule, die ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. We zullen nu laten zien hoe deze formule werkt door een voorbeeldprobleem. Klik op de afbeelding om te zien hoe dit wordt gedaan.

Nu zullen we de afstand tussen twee punten A en B vinden op een curve die wordt gedefinieerd door een functie f (x) op een gesloten interval [a, b] . Om deze afstand te vinden, zouden we de formule s = De integraal, tussen de ondergrens, a en de bovengrens, b, van de integrand √ (1 + [f '(x)] ^ 2) moeten gebruiken met betrekking tot de variabele van integratie, dx. Klik op de afbeelding voor een beter beeld.

De functie die we zullen gebruiken als een voorbeeldprobleem, gedurende het gesloten interval, [1,3], is ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + √ [(x + 4) 2-1 ^]]]. de afgeleide van deze functie is ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], we zullen nu beide zijden van de functie van het derivaat vierkant maken. Dat is [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, wat ons [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. We vervangen nu deze uitdrukking in de booglengte-formule /Integral of, s. vervolgens integreren.

Klik op de afbeelding voor een beter begrip.

Vervolgens hebben we de volgende substitutie door substitutie: s = de integraal, tussen de ondergrens, 1 en de bovengrens , 3, van de integrand √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = de integrand √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). wat gelijk is aan √ ((x + 4) ^ 2). Door het antiderivatief op deze Integrand en volgens de Fundamentele Stelling van Calculus uit te voeren, krijgen we ... {[(x ^ 2) /2] + 4x} waarin we eerst de bovengrens, 3, en van dit resultaat vervangen we trekken het resultaat van de substitutie van de onderlimiet 1 af. Dat is {[(3 ^ 2) /2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} welke is gelijk aan {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} wat gelijk is aan (24/2) = 12. Dus de afstand /afstand van de functie /curve over het interval [1,3] is 12 eenheden.