", 3, [[

Als je van wiskunde-eigenaardigheden houdt, zul je de driehoek van Pascal geweldig vinden. Vernoemd naar de 17e-eeuwse Franse wiskundige Blaise Pascal, en bij Chinezen al eeuwen bekend bij Pascal als de Yanghui-driehoek, is het eigenlijk meer dan een eigenaardigheid. Het is een specifieke rangschikking van getallen die ongelooflijk nuttig is in de algebra en de waarschijnlijkheidstheorie. Sommige kenmerken zijn verwarrend en interessanter dan nuttig. Ze helpen de mysterieuze harmonie van de wereld te illustreren, zoals beschreven door getallen en wiskunde.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Pascal heeft de driehoek afgeleid door uit te breiden (x + y) ^ n voor het verhogen van de waarden van n en het rangschikken van de coëfficiënten van de termen in een driehoekig patroon. Het heeft veel interessante en nuttige eigenschappen.
Het construeren van de driehoek van Pascal

De regel voor het construeren van de driehoek van Pascal kan niet eenvoudiger zijn. Begin met nummer één aan de top en vorm de tweede rij eronder met een paar. Om de derde en alle volgende rijen te construeren, begint u door er een aan het begin en aan het einde te plaatsen. Leid elk cijfer tussen dit paar af door de twee cijfers er direct boven toe te voegen. De derde rij is dus 1, 2, 1, de vierde rij is 1, 3, 3, 1, de vijfde rij is 1, 4, 6, 4, 1 enzovoort. Als elk cijfer een vak inneemt dat even groot is als alle andere vakjes, vormt de opstelling een perfecte gelijkzijdige driehoek die aan twee kanten wordt begrensd door een en een basis heeft die even lang is als het nummer van de rij. De rijen zijn symmetrisch omdat ze hetzelfde heen en weer lezen.
Toepassing van de driehoek van Pascal in Algebra

Pascal ontdekte de driehoek, die al eeuwen bekend was bij Perzische en Chinese filosofen, toen hij de algebraïsche uitbreiding van de uitdrukking (x + y) ^{n. Wanneer u deze uitdrukking uitbreidt tot de nde macht, komen de coëfficiënten van de termen in de uitbreiding overeen met de getallen in de nde rij van de driehoek. Bijvoorbeeld (x + y) 0 \u003d 1; (x + y) 1 \u003d x + y; (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 enzovoort. Om deze reden noemen wiskundigen de opstelling soms de driehoek van binomiale coëfficiënten. Voor grote aantallen n is het duidelijk gemakkelijker om de uitbreidingscoëfficiënten uit de driehoek te lezen dan om ze te berekenen.
Pascal's driehoek in waarschijnlijkheidstheorie}

Stel dat u een bepaald aantal keer een munt gooit. Hoeveel combinaties van koppen en staarten kun je krijgen? Je kunt het uitzoeken door naar de rij in de driehoek van Pascal te kijken die overeenkomt met het aantal keren dat je de munt gooit en alle getallen in die rij optelt. Als u bijvoorbeeld de munt 3 keer gooit, zijn er 1 + 3 + 3 + 1 \u003d 8 mogelijkheden. De kans dat u drie keer achter elkaar hetzelfde resultaat krijgt, is daarom 1/8.

Op dezelfde manier kunt u de driehoek van Pascal gebruiken om te zoeken op hoeveel manieren u objecten of keuzes uit een bepaalde set kunt combineren. Stel dat je 5 ballen hebt en je wilt weten op hoeveel manieren je er twee kunt kiezen. Ga gewoon naar de vijfde rij en kijk naar het tweede item om het antwoord te vinden. Dit is 5.
Interessante patronen

De driehoek van Pascal bevat een aantal interessante patronen. Hier zijn er een paar: