Stel je voor dat je midden in een perfect cirkelvormige arena staat. Je kijkt uit naar de drukte langs de zijkanten van de arena en je ziet je beste vriend op een stoel en je wiskundeleraar op de middelbare school een paar delen over. Wat is de afstand tussen hen en jou? Hoe ver zou je moeten lopen om van de stoel van je vriend naar de stoel van je leraar te reizen? Wat zijn de maten van de hoeken tussen jou? Dit zijn allemaal vragen met betrekking tot centrale hoeken.

Een centrale hoek is de hoek die ontstaat wanneer twee stralen van het middelpunt van de cirkel naar de randen worden getrokken. In dit voorbeeld zijn de twee stralen uw twee gezichtslijnen van u, in het midden van de arena, naar uw vriend, en uw gezichtslijn naar uw leraar. De hoek die zich tussen deze twee lijnen vormt, is de centrale hoek. Het is de hoek die het dichtst bij het middelpunt van de cirkel ligt.

Je vriend en je leraar zitten langs de omtrek of de randen van de cirkel. Het pad langs de arena dat hen verbindt is een boog.
Zoek de centrale hoek op basis van booglengte en omtrek

Er zijn een aantal vergelijkingen die u kunt gebruiken om de centrale hoek te vinden. Soms krijg je de booglengte, de afstand langs de omtrek tussen twee punten. (In het voorbeeld is dit de afstand die u zou moeten lopen om door de arena te lopen van uw vriend naar uw leraar.) De relatie tussen centrale hoek en booglengte is:

(booglengte) ÷ omtrek \u003d (centrale hoek) ÷ 360 °

De centrale hoek is in graden.

Deze formule is logisch, als u erover nadenkt. De lengte van de boog uit de totale lengte rond de cirkel (omtrek) is dezelfde verhouding als de hoek van de boog uit de totale hoek in een cirkel (360 graden).

Om deze vergelijking effectief te gebruiken, moet u moet de omtrek van de cirkel kennen. Maar u kunt deze formule ook gebruiken om de booglengte te vinden als u de centrale hoek en de omtrek kent. Of, als u de booglengte en de centrale hoek hebt, kunt u de omtrek vinden!
De centrale hoek vinden op basis van de booglengte en straal

U kunt ook de straal van de cirkel en de boog gebruiken lengte om de centrale hoek te vinden. Noem de maat van de centrale hoek θ. Dan:

θ \u003d s ÷ r, waarbij s de booglengte is en r de straal is. θ wordt gemeten in radialen.

Nogmaals, u kunt deze vergelijking herschikken afhankelijk van de informatie die u hebt. U kunt de lengte van de boog vinden vanuit de straal en de centrale hoek. Of je kunt de straal vinden als je de centrale hoek en de booglengte hebt.

Als je de booglengte wilt, ziet de vergelijking er als volgt uit:

s \u003d θ * r, waar s is de booglengte, r is de straal en θ is de centrale hoek in radialen.
De centrale hoekstelling

Laten we een voorbeeld toevoegen aan uw voorbeeld waarbij u in de arena bent met uw buurman en je leraar. Nu is er een derde persoon die je kent in de arena: je buurman. En nog een ding: ze staan achter je. Je moet je omdraaien om ze te zien.

Je buurman bevindt zich ongeveer tegenover de arena van je vriend en je leraar. Vanuit het gezichtspunt van je buurman is er een hoek gevormd door hun gezichtslijn naar de vriend en hun gezichtslijn naar de leraar. Dat wordt een ingeschreven hoek genoemd. Een ingeschreven hoek is een hoek gevormd door drie punten langs de omtrek van een cirkel.

De centrale hoekstelling verklaart de relatie tussen de grootte van de centrale hoek, gevormd door u, en de ingeschreven hoek, gevormd door uw buurman. De centrale hoekstelling stelt dat de centrale hoek twee keer de ingeschreven hoek is. (Dit veronderstelt dat je dezelfde eindpunten gebruikt. Je kijkt allebei naar de leraar en de vriend, naar niemand anders).

Hier is een andere manier om het te schrijven. Laten we de stoel van je vriend A, de stoel van je leraar B en de stoel van je buurman C noemen. Jij, in het midden, kunt O zijn.

Dus voor drie punten A, B en C langs de omtrek van een cirkel en punt O in het midden, de centrale hoek ∠AOC is tweemaal de ingeschreven hoek ∠ABC.

Dat wil zeggen, ∠AOC \u003d 2∠ABC.

Dit is logisch. Je bent dichter bij de vriend en de leraar, dus naar jou kijken ze verder uit elkaar (een grotere hoek). Voor je buurman aan de andere kant van het stadion kijken ze veel dichter bij elkaar (een kleinere hoek).
Uitzondering op de centrale hoekstelling

Laten we de zaken nu op een hoger niveau brengen. Je buurman aan de andere kant van de arena begint te bewegen! Ze hebben nog steeds een zichtlijn naar de vriend en de leraar, maar de lijnen en hoeken blijven verschuiven als de buurman beweegt. Wat denk je: zolang de buurman buiten de boog tussen de vriend en de buurman blijft, blijft de Central Angle Theorem nog steeds waar!

Maar wat gebeurt er als de buurman tussen de vriend en de leraar? Nu is je buurman binnen de kleine boog, de relatief kleine afstand tussen de vriend en de leraar in vergelijking met de grotere afstand rond de rest van de arena. Dan bereik je een uitzondering op de centrale hoekstelling.

De uitzondering op de centrale hoekstelling stelt dat wanneer punt C, de buurman, zich binnen de kleine boog bevindt, de ingeschreven hoek het supplement is van de helft van de centrale hoek . (Vergeet niet dat een hoek en het bijbehorende supplement 180 graden zijn.)

Dus: ingeschreven hoek \u003d 180 - (centrale hoek ÷ 2)

Of: ∠ABC \u003d 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiseren

Math Open Reference heeft een tool om de Central Angle Theorem en zijn uitzondering te visualiseren. Je mag de "buur" naar alle verschillende delen van de cirkel slepen en de hoeken zien veranderen. Probeer het als je een visuele of extra oefening wilt!