Elke algebra-student op hogere niveaus moet leren kwadratische vergelijkingen op te lossen. Dit zijn een soort polynoomvergelijking met een macht van 2 maar niet groter, en ze hebben de algemene vorm: ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. U kunt deze oplossen door de formule van de kwadratische vergelijking te gebruiken, door te factoriseren of door het kwadraat in te vullen.</sup>

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Zoek eerst naar een factorisatie om de vergelijking op te lossen. Als er niet één is, maar de b
-coëfficiënt deelbaar is door 2, vult u het vierkant in. Als geen van beide benaderingen eenvoudig is, gebruikt u de formule van de kwadratische vergelijking.
Factorisatie gebruiken om de vergelijking op te lossen

Factorisatie maakt gebruik van het feit dat de rechterkant van de standaard kwadratische vergelijking nul is. Dit betekent dat als u de vergelijking kunt opsplitsen in twee termen tussen haakjes vermenigvuldigd met elkaar, u de oplossingen kunt uitwerken door na te denken over wat elke beugel gelijk nul zou maken. Om een concreet voorbeeld te geven:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Vergelijk dit met het standaardformulier:

bijl

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

In het voorbeeld < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 en c
\u003d 9. De uitdaging van het ontbinden van factoren is het vinden van twee getallen die bij elkaar worden opgeteld om het getal in de b te geven
spot en vermenigvuldig samen om het nummer op de plaats te krijgen voor c
.

Dus, de getallen vertegenwoordigen met d
en e
, u zoekt naar cijfers die voldoen aan:

d
+ e
\u003d b

Of in dit geval, met b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

En

d
× e
\u003d c

Of in dit geval met c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Concentreer u op het vinden van getallen die factoren zijn van c
en voeg ze vervolgens samen om te zien of ze gelijk zijn aan b
. Wanneer u uw nummers hebt, plaatst u deze in de volgende notatie:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

In het bovenstaande voorbeeld zijn zowel d
als e
3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Als u de haakjes vermenigvuldigt, ziet u ' Uiteindelijk krijg je weer de oorspronkelijke uitdrukking en dit is een goede gewoonte om je factorisatie te controleren. U kunt dit proces doorlopen (door het eerste, binnenste, buitenste en vervolgens laatste deel van de haakjes om de beurt te vermenigvuldigen - zie bronnen voor meer informatie) om het omgekeerd te zien:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
× x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

Factorisatie doorloopt dit proces effectief omgekeerd, maar het kan een uitdaging zijn om de juiste manier te vinden om de kwadratische vergelijking te factureren, en dit om deze reden is de methode niet ideaal voor elke kwadratische vergelijking. Vaak moet u raden naar een factorisatie en deze vervolgens controleren.

Het probleem is nu dat een van de uitdrukkingen tussen haakjes gelijk nul wordt door uw keuze van waarde voor x
. Als een van beide haakjes gelijk is aan nul, is de hele vergelijking gelijk aan nul en hebt u een oplossing gevonden. Kijk naar de laatste fase [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0] en je zult zien dat de enige keer dat de haakjes op nul komen is als x
\u003d −3. In de meeste gevallen hebben kwadratische vergelijkingen echter twee oplossingen.

Factorisatie is zelfs nog uitdagender als a
niet gelijk is aan één, maar in eerste instantie concentreren op eenvoudige gevallen is beter.
Het vierkant voltooien om de vergelijking op te lossen

Het vierkant voltooien helpt u bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen die niet gemakkelijk te ontbinden zijn. Deze methode kan voor elke kwadratische vergelijking werken, maar sommige vergelijkingen passen er meer bij dan andere. De aanpak houdt in dat de uitdrukking een perfect vierkant wordt en dat oplost. Een generiek perfect vierkant wordt als volgt uitgebreid:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

Om een kwadratische vergelijking op te lossen door het vierkant te voltooien, krijgt u de uitdrukking in de vorm aan de rechterkant van het bovenstaande. Deel eerst het getal op de positie b
door 2 en vierkant vervolgens het resultaat. Dus voor de vergelijking:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

De coëfficiënt b
\u003d 8, dus b
÷ 2 \u003d 4 en ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Aan beide kanten toevoegen om te krijgen:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Merk op dat dit formulier overeenkomt met de perfecte vierkante vorm, met d
\u003d 4, dus 2_d_ \u003d 8 en d
^{2 \u003d 16. Dit betekent dat:}

x

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Plaats dit in de vorige vergelijking om te krijgen:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Los nu de vergelijking op voor x
. Neem de vierkantswortel van beide kanten om te krijgen:

x

+ 4 \u003d √16

Trek 4 van beide kanten af om te krijgen:

x

\u003d √ (16) - 4

De root kan positief of negatief zijn, en het nemen van de negatieve root geeft:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Zoek de andere oplossing met de positieve root:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Daarom is de enige niet-nul oplossing −8. Controleer dit met de oorspronkelijke uitdrukking om te bevestigen.
De kwadratische formule gebruiken om de vergelijking op te lossen

De kwadratische formule lijkt ingewikkelder dan de andere methoden, maar het is de meest betrouwbare methode en u kunt deze gebruiken op elke kwadratische vergelijking. De vergelijking gebruikt de symbolen van de standaard kwadratische vergelijking:

axe

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

En stelt dat:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Voer de juiste getallen in op hun plaats en werk de formule op om op te lossen, vergeet niet om de vierkantswortelterm af te trekken en toe te voegen let op beide antwoorden. Voor het volgende voorbeeld:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

U hebt a
\u003d 1, b
\u003d 6 en c
\u003d 5. De formule geeft dus:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36 - 20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4) ÷ 2

Het positieve teken nemen geeft:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

En het negatieve teken nemen geeft:

x
\u003d (−6 - 4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Wat zijn de twee oplossingen voor de vergelijking.
Hoe de beste methode te bepalen om kwadratische vergelijkingen op te lossen

Zoek naar een factorisatie voordat u iets anders probeert. Als je er een kunt spotten, is dit de snelste en eenvoudigste manier om een kwadratische vergelijking op te lossen. Vergeet niet dat u op zoek bent naar twee getallen die de b
-coëfficiënt optellen en vermenigvuldigen om de c
-coëfficiënt te geven. Voor deze vergelijking:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Je kunt die 2 + 3 \u003d 5 en 2 herkennen × 3 \u003d 6, dus:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

En x
\u003d −2 of x
\u003d −3.

Als u niet kunt zien een factorisatie, controleer of de b
-coëfficiënt deelbaar is door 2 zonder toevlucht te nemen tot breuken. Als dit het geval is, is het invullen van het vierkant waarschijnlijk de eenvoudigste manier om de vergelijking op te lossen.

Als geen van beide benaderingen geschikt lijkt, gebruikt u de formule. Dit lijkt de moeilijkste aanpak, maar als je in een examen zit of anderszins op zoek bent naar tijd, kan dit het proces een stuk minder stressvol en veel sneller maken.