Een UNSW-wiskundige heeft de oorsprong van toegepaste meetkunde onthuld op een 3700 jaar oude kleitablet die al meer dan een eeuw in het zicht verborgen ligt in een museum in Istanbul.

De tablet, bekend als Si.427, werd eind 19 ontdekt ^e eeuw in wat nu centraal Irak is, maar de betekenis ervan was onbekend totdat het detectivewerk van de UNSW-wetenschapper vandaag werd onthuld.

Best spannend, Si.427 wordt beschouwd als het oudst bekende voorbeeld van toegepaste geometrie - en in de studie die vandaag is vrijgegeven in Grondslagen van de wetenschap , het onderzoek onthult ook een boeiend menselijk verhaal over landmeten.

"Si.427 dateert uit de Oud-Babylonische (OB) periode - 1900 tot 1600 BCE, ", zegt hoofdonderzoeker Dr. Daniel Mansfield van de UNSW Science's School of Mathematics and Statistics.

"Het is het enige bekende voorbeeld van een kadastraal document uit de OB-periode, dat is een plan dat door landmeters wordt gebruikt om landgrenzen te definiëren. In dit geval, het vertelt ons juridische en geometrische details over een veld dat is gesplitst nadat een deel ervan is verkocht."

Dit is een belangrijk object omdat de landmeter wat nu bekend staat als "Pythagoras triples" gebruikt om nauwkeurige rechte hoeken te maken.

"De ontdekking en analyse van de tablet hebben belangrijke implicaties voor de geschiedenis van de wiskunde, " zegt Dr. Mansfield. "Bijvoorbeeld, dit is meer dan duizend jaar voordat Pythagoras werd geboren."

Heet op de hielen van nog een wereldprimeur

in 2017, Dr. Mansfield vermoedde dat een ander fascinerend artefact uit dezelfde periode, bekend als Plimpton 322, was een uniek soort trigonometrische tafel.

"Het is algemeen aanvaard dat trigonometrie - de tak van wiskunde die zich bezighoudt met de studie van driehoeken - werd ontwikkeld door de oude Grieken die de nachtelijke hemel bestudeerden in de tweede eeuw vGT, " zegt dr. Mansfield.

"Maar de Babyloniërs ontwikkelden hun eigen alternatieve 'proto-trigonometrie' om problemen met betrekking tot het meten van de grond op te lossen, niet de hemel."

Men denkt dat de tablet die vandaag wordt onthuld al vóór Plimpton 322 bestond - in feite, landmeetkundige problemen inspireerden waarschijnlijk Plimpton 322.

"Er is een hele dierentuin van rechthoekige driehoeken met verschillende vormen. Maar slechts een heel klein handjevol kan worden gebruikt door Babylonische landmeters. Plimpton 322 is een systematische studie van deze dierentuin om de bruikbare vormen te ontdekken, " zegt dr. Mansfield.

Doel van de tablet onthuld:land inmeten

Terug in 2017, het team speculeerde over het doel van de Plimpton 322, veronderstellend dat het waarschijnlijk een praktisch doel had, mogelijk gebruikt om paleizen en tempels te bouwen, kanalen aanleggen of velden aanleggen.

"Met deze nieuwe tablet, we kunnen echt voor het eerst zien waarom ze waren geïnteresseerd in geometrie:om precieze landgrenzen vast te stellen, " zegt Dr. Mansfield.

"Dit komt uit een periode waarin land privé begint te worden - mensen begonnen over land na te denken in termen van 'mijn land en jouw land', een goede grens willen stellen om positieve burenrelaties te hebben. En dit zegt deze tablet meteen. Het is een veld dat wordt gesplitst, en nieuwe grenzen worden gemaakt."

Er zijn zelfs aanwijzingen verborgen op andere tablets uit die tijd over de verhalen achter deze grenzen.

"Een ander tablet verwijst naar een geschil tussen Sin-bel-apli - een prominent persoon die op veel tablets wordt genoemd, waaronder Si.427 - en een rijke vrouwelijke landeigenaar, " zegt Dr. Mansfield.

"Het geschil gaat over waardevolle dadelpalmen op de grens tussen hun twee eigendommen. De lokale beheerder stemt ermee in een landmeter te sturen om het geschil op te lossen. Het is gemakkelijk in te zien hoe nauwkeurigheid belangrijk was bij het oplossen van geschillen tussen zulke machtige individuen."

Dr. Mansfield zegt dat de manier waarop deze grenzen worden gemaakt, echt geometrisch begrip onthult.

"Niemand had verwacht dat de Babyloniërs Pythagoras triples op deze manier gebruikten, " zegt Dr. Mansfield. "Het lijkt meer op pure wiskunde, geïnspireerd door de praktische problemen van die tijd."

Rechte hoeken creëren - makkelijker gezegd dan gedaan

Een eenvoudige manier om een ​​nauwkeurige rechte hoek te maken, is door een rechthoek te maken met zijden 3 en 4, en diagonaal 5. Deze speciale getallen vormen de 3-4-5 "Pythagoras triple" en een rechthoek met deze afmetingen heeft wiskundig perfecte rechte hoeken. Dit is belangrijk voor oude landmeters en wordt nog steeds gebruikt.

"De oude landmeters die Si.427 maakten, deden iets nog beters:ze gebruikten een verscheidenheid aan verschillende Pythagoreïsche triples, zowel als rechthoeken als rechthoekige driehoeken, nauwkeurige rechte hoeken te construeren, " zegt Dr. Mansfield.

Echter, het is moeilijk om met priemgetallen groter dan 5 te werken in het Babylonische getallenstelsel met grondtal 60.

"Dit roept een heel bijzonder probleem op - hun unieke basis 60-nummersysteem betekent dat slechts enkele Pythagoreïsche vormen kunnen worden gebruikt, " zegt Dr. Mansfield.

"Het lijkt erop dat de auteur van Plimpton 322 al deze Pythagoreïsche vormen heeft doorgenomen om deze bruikbare te vinden.

"Dit diepe en zeer numerieke begrip van het praktische gebruik van rechthoeken verdient de naam 'proto-trigonometrie', maar het is totaal anders dan onze moderne trigonometrie waarbij zonde betrokken is, want, en bruin."

Op jacht naar Si.427

Dr. Mansfield hoorde voor het eerst over Si.427 toen hij erover las in opgravingsverslagen - de tablet werd opgegraven tijdens de Sippar-expeditie van 1894, in wat nu de provincie Bagdad in Irak is.

"Het was een echte uitdaging om de tablet van deze archieven te traceren en fysiek te vinden - het rapport zei dat de tablet naar het Imperial Museum van Constantinopel was gegaan, een plek die duidelijk niet meer bestaat.

"Met behulp van dat stukje informatie, Ik ging op een zoektocht om het op te sporen, spreken met veel mensen op ministeries en musea van de Turkse regering, tot op een dag midden 2018 een foto van Si.427 eindelijk in mijn inbox belandde.

"Toen hoorde ik dat het daadwerkelijk in het museum te zien was. Zelfs na het lokaliseren van het object duurde het nog maanden om volledig te begrijpen hoe belangrijk het is, en dus is het echt bevredigend om dat verhaal eindelijk te kunnen delen."

Volgende, Dr. Mansfield hoopt te ontdekken welke andere toepassingen de Babyloniërs hadden voor hun proto-trigonometrie.

Er is nog maar één mysterie dat Dr. Mansfield niet heeft ontgrendeld:op de achterkant van de tablet, helemaal onderaan, het vermeldt het sexagesimale getal '25:29' in grote letters - beschouw het als 25 minuten en 29 seconden.

"Ik kan niet achterhalen wat deze cijfers betekenen - het is een absoluut raadsel. Ik wil graag eventuele aanwijzingen bespreken met historici of wiskundigen die misschien een idee hebben van wat deze cijfers ons proberen te vertellen!"