Een wiskundige van de RUDN University heeft een nieuw schema voorgesteld voor het numeriek oplossen van vergelijkingen met fractionele machten van elliptische operatoren. De nieuwe regeling werkt sneller dan de bestaande, omdat het rekening houdt met de eigenschappen van de oplossingen van dergelijke vergelijkingen op singuliere punten. De resultaten kunnen nuttig zijn voor het berekenen van diffusieprocessen, bijvoorbeeld vloeistoflekkage in een poreus medium, overdracht van voedingsstoffen door een celwand, en breuken in elastische materialen. De studie is gepubliceerd in Computers en wiskunde met toepassingen .

De klassieke diffusievergelijking is een partiële differentiaalvergelijking. Het beschrijft het proces van distributie van een stof in een bepaalde omgeving. De oplossing van de vergelijking is een functie van tijd t en punt x, die de concentratie u (t, x) van de stof op punt x op tijdstip t. Als het medium homogeen is, dan bevat de diffusievergelijking de eerste afgeleide naar t van u en de som van de tweede afgeleiden van u naar coördinaten. De som wordt de Laplace-operator genoemd, en wordt gebruikt op verschillende gebieden van wiskunde en natuurkunde, inclusief de theorie van complexe functies en de Schrödingervergelijking.

Wiskundige Petr Vabishchevich, een medewerker van het Wetenschappelijk Centrum voor Computational Methods in Applied Mathematics aan de RUDN University, en zijn collega Raimondas Ciegis, Prof. Wiskunde aan de Technische Universiteit van Vilnius Gediminas, Vilnius, Litouwen, beschouwd als een variant van de fractionele diffusievergelijking waarin de Laplace-operator in een fractionele mate wordt genomen. De mate wordt bepaald door de formule, wat handig is vanuit theoretisch oogpunt, maar totaal ongeschikt voor berekeningen. Ondertussen, praktische berekeningen met betrekking tot oplossingen zijn een belangrijke taak voor toepassingen.

Als het oplossen van een vergelijking in algemene vorm moeilijk is, wiskundigen gebruiken numerieke methoden. Er zijn er verschillende die traditioneel worden gebruikt voor de fractionele diffusievergelijking. Bijvoorbeeld, een van hen gaat ervan uit dat de oplossing wordt teruggebracht tot de sequentiële oplossingen voor verschillende systemen die lokaal worden genoemd. Deze systemen hebben de eigenschap ellipticiteit, dat is, dergelijke vergelijkingen lijken op diffusievergelijkingen zonder een fractionele graad. Dergelijke systemen zijn numeriek goed opgelost. Echter, wanneer de benaderde oplossing voor het oorspronkelijke probleem als geheel moet worden "geassembleerd" uit de verkregen oplossingen, de stukjes "passen" niet altijd goed in elkaar - de verkregen oplossing benadert soms de oplossing voor het oorspronkelijke probleem nauwkeurig, en soms verschilt het enorm.

Petr Vabishchevich en zijn collega kozen een andere manier, het reduceren van de oplossing van de fractionele diffusievergelijking tot verschillende lokale systemen. De resulterende systemen bezaten niet de eigenschap ellipticiteit en waren nog erger, in zekere zin. Bovendien, het systeem omvatte functies met discontinuïteiten, wat meestal een lage oplosbaarheid betekent voor numerieke problemen. Maar in dit specifieke geval bleek dat de juiste keuze van de tijdstap voor de berekening, samen met een goede keuze van het systeem zelf, maakt het verkrijgen van een numerieke oplossing mogelijk die de oplossing voor het oorspronkelijke probleem vrij nauwkeurig benadert.

Bovendien, het blijkt dat de methode die door wiskundigen van de RUDN Universiteit wordt voorgesteld vaak sneller werkt dan zijn tegenhangers. De overgang naar een benaderende oplossing vindt namelijk plaats bij de laatste stap in het nieuwe schema. Bij andere methoden, de benadering gebeurt in verschillende fasen, wat leidt tot een opeenstapeling van rekenfouten. Bij de nieuwe methode gebeurt dit niet.

De fractionele diffusievergelijkingen beschrijven de zogenaamde abnormale diffusie, bijv. de verdeling van een vloeistof in een poreus medium met discontinuïteiten. In aanvulling, fractionele diffusie beschrijft de overdracht van voedingsstoffen binnen een cel en in weefsels in het algemeen. Deze vergelijkingen in algemene vorm zijn niet oplosbaar, daarom, wetenschappers gebruiken numerieke benaderingen, dat is, benaderende oplossingen. Met de nieuwe methode van wiskundigen van de RUDN Hogeschool kunnen berekeningen in veel gevallen sneller worden uitgevoerd.