Wiskundigen van de RUDN University hebben de unieke voortzettingsstelling bewezen voor een eendimensionale oplossing voor een diffusieprobleem van fractionele orde. Dergelijke vergelijkingen worden gebruikt, bijvoorbeeld, om problemen op te lossen van de diffusie van deeltjes in een poreus medium zoals het insijpelen van grondwater. De resultaten van het werk van de wiskundigen zouden kunnen leiden tot een nauwkeurigere analyse van oplossingen en hun numerieke simulatie. In het algemene geval, er zijn geen dergelijke voortzettingsstellingen voor andere klassen van vergelijkbare vergelijkingen. Het artikel is gepubliceerd in het tijdschrift Fractionele calculus en toegepaste analyse .

De diffusievergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die de penetratie van deeltjes in een medium beschrijft. De oplossing is een functie jij van t en x , die de dichtheid van deeltjes op punt geeft x op tijd t . De eendimensionale diffusievergelijking bevat afgeleiden van jij rekeninghoudend met t , evenals derivaten van jij rekeninghoudend met x en een tweede afgeleide van jij rekeninghoudend met x .

De eendimensionale vergelijking wordt ook wel de warmtegeleidingsvergelijking genoemd:warmtevoortplanting kan worden beschouwd als een vorm van diffusie. In de eendimensionale fractionele diffusievergelijking, de afgeleide van jij rekeninghoudend met t wordt vervangen door de Caputo fractionele afgeleide. Als de afgeleide de limiet van een verhouding is, dan de Caputo fractionele afgeleide van een fractionele orde een wordt bepaald door integrale formule, waar voor gehele waarden een er zijn standaardwaarden van de derivaten. Voor de gebruikelijke eendimensionale diffusievergelijking, een voortzettingsstelling kan worden bewezen [s]. [/s] Het stelt dat als de dichtheid en de flux van deeltjes nul zijn op één grenspunt over een tijdsinterval, dan is er geen sprake van diffusie in x en t. Zelfs een eerstejaarsstudent kan het bewijs van deze verklaring begrijpen, echter, tot voor kort, vergelijkbare resultaten voor de fractionele diffusievergelijking waren onbekend.

RUDN University-wiskundige Masahiro Yamamoto en zijn collega's beschouwden de eendimensionale fractionele diffusievergelijking voor een willekeurige parameter a met een waarde tussen 0 en 1. Ze slaagden erin aan te tonen dat er in het fractionele geval ook een voortzettingsstelling is, Bovendien, in dezelfde formulering:als de dichtheid en de flux van deeltjes nul zijn op één grenspunt over een tijdsinterval, dan diffundeert er niets.

Het idee van het bewijs is dit:wiskundigen nemen een oplossing, kijk hoe het zich gedraagt ​​in een vervolg, en krijg dan een integrale schatting voor de toename van deze oplossing, afhankelijk van de parameter. Uit de integrale schatting volgt dat de enige bevredigende oplossing de nuloplossing is. Er zijn geen vergelijkbare schattingen bekend voor vergelijkbare vergelijkingen met fractionele derivaten.

De fractionele diffusievergelijking wordt toegepast op verschillende gebieden van de natuurkunde, wiskunde, en informatica. Bijvoorbeeld, deze vergelijking beschrijft de diffusie van deeltjes in een poreus medium. Dergelijke vergelijkingen zijn met succes gebruikt om het gedrag van vervuilende emissies in grondwater te beschrijven. Een ander toepassingsgebied van dergelijke vergelijkingen is beeldverwerking.