Door Chirantan Basu | Bijgewerkt op 30 augustus 2022

De vergelijking van een vlak in de driedimensionale ruimte kan worden uitgedrukt als ax + by + cz = d , waarbij ten minste één van de constanten a , b , of c is niet-nul. Als er drie punten bekend zijn, kan het vlak worden afgeleid met behulp van vectorkruisproducten, een betrouwbare geometrische techniek die een exacte oplossing garandeert.

Stap 1 – Identificeer de drie punten

Noem de punten A, B en C. Ter illustratie:A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) en C = (1, 3, 4).

Stap 2 – Vorm twee vectoren in het vlak

Kies twee willekeurige vectoren die in het vlak liggen. Een handige keuze is AB en AC :

• AB  = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)
• AC  = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)

Stap 3 – Bereken de normale vector via kruisproduct

Het kruisproduct van AB en AC levert een vector loodrecht op het vlak op:

AB × AC = (a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁)

Het vervangen van de coördinaten geeft:

AB × AC = (3·3 – 1·2, 1·(–2) – (–2)·3, (–2)·2 – 3·(–2)) = (7, 4, 2)

Dus de normaalvector N is (7, 4, 2) .

Stap 4 – Schrijf de vlakvergelijking

Met behulp van punt C (of een bekend punt) en de normaalvector is de vlakvergelijking:

7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0

Uitbreiden en vereenvoudigen levert de standaardvorm op:

7x + 4y + 2z = 27

Stap 5 – Controleer het resultaat

Vervang elk van de oorspronkelijke punten in de vergelijking om te bevestigen dat ze eraan voldoen. Alle drie de punten voldoen aan 7x + 4y + 2z = 27 , waarmee de berekening wordt gevalideerd.

TL;DR

Gebruik vectorkruisproducten om de normaalvector van een vlak te vinden en vul vervolgens een willekeurig punt in het punt-productformulier in om de vergelijking van het vlak te verkrijgen.