De raaklijn is een van de fundamentele trigonometrische functies, naast sinus en cosinus. Het koppelt de hoeken van een driehoek aan de verhoudingen van de zijden en is onmisbaar op gebieden variërend van techniek tot natuurkunde. In deze handleiding lopen we door de klassieke definitie van een rechthoekige driehoek, illustreren het gebruik ervan met een eenvoudig voorbeeld en laten vervolgens zien hoe dezelfde waarde kan worden afgeleid uit andere trigonometrische functies en kan worden berekend met behulp van een machtreeksuitbreiding.

Stap 1:Identificeer driehoekscomponenten

Label de rechthoekige driehoek zodat de relaties duidelijk zijn. Plaats de rechte hoek op hoekpuntC, zodat de hypotenusa tegenover deze hoek ligt. Laat de scherpe hoek van belang θ zijn bij hoekpunt A. De zijde grenzend aan θ wordt aangeduid met b, en de tegenoverliggende zijde θ wordt aangeduid met a. De twee benen (aandb) vormen samen met de hypotenusa de volledige driehoek.

Stap 2:Definieer de tangensfunctie

Per definitie is de raaklijn van een hoek de verhouding tussen de lengte van de zijde tegenover de hoek en de lengte van de zijde grenzend aan de hoek:

\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]

Stap 3:Bereken een eenvoudig voorbeeld

Beschouw een gelijkbenige rechthoekige driehoek, waarvan de benen gelijk zijn:a=b. Hier, \(\tan\theta =1\). Omdat beide scherpe hoeken 45° zijn, bevestigen we dat \(\tan45^{\circ}=1\).

Stap 4:Leid de raaklijn af van sinus en cosinus

Omdat \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) en \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), geeft het delen van de twee het volgende:\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]

Stap 5:Bereken de tangens voor elke hoek met behulp van reeksuitbreiding

Voor hogere precisie of niet-gehele hoeken gebruikt u de Maclaurin-reeks:\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\]Dan\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]

Kap de reeks af tot de gewenste nauwkeurigheid; voor de meeste praktische doeleinden volstaan enkele termen.