Als u twee punten kent die op een bepaalde exponentiële curve vallen, kunt u de curve definiëren door de algemene exponentiële functie op te lossen met die punten. In de praktijk betekent dit dat u de punten voor y en x in de vergelijking y = ab ^{x vervangt. De procedure is eenvoudiger als de x-waarde voor een van de punten 0 is, wat betekent dat het punt zich op de y-as bevindt. Als geen van beide punten een x-waarde heeft, is het proces voor het oplossen van x en y een beetje ingewikkelder.}

Waarom exponentiële functies belangrijk zijn

Veel belangrijke systemen volgen exponentiële groeipatronen en verval. Het aantal bacteriën in een kolonie neemt bijvoorbeeld gewoonlijk exponentieel toe en de omgevingsstraling in de atmosfeer na een nucleaire gebeurtenis neemt gewoonlijk exponentieel af. Door gegevens te nemen en een curve uit te zetten, zijn wetenschappers beter in staat om voorspellingen te doen.

Van een paar punten naar een grafiek

Elk punt op een tweedimensionale grafiek kan worden weergegeven door twee getallen, meestal geschreven in de vorm (x, y), waarbij x de horizontale afstand van de oorsprong bepaalt en y de verticale afstand aangeeft. Het punt (2, 3) is bijvoorbeeld twee eenheden rechts van de y-as en drie eenheden boven de x-as. Aan de andere kant is het punt (-2, -3) twee eenheden links van de y-as. en drie eenheden onder de x-as.

Als je twee punten hebt, (x _{1, y 1) en (x 2, y 2), kan de exponentiële functie definiëren die deze punten passeert door ze te vervangen door de vergelijking y = ab ^{x en op te lossen voor a en b. Over het algemeen moet je dit paar vergelijkingen oplossen:}}

y _{1 = ab ^{x1 en y 2 = ab x2,.}}

In deze vorm, de wiskunde ziet er een beetje ingewikkeld uit, maar het ziet er minder uit nadat je een paar voorbeelden hebt gedaan.

Eén punt op de X-as

Als een van de x-waarden - - zeg x _{1 - is 0, de bewerking wordt heel eenvoudig. Het oplossen van de vergelijking voor de punten (0, 2) en (2, 4) levert bijvoorbeeld:}

2 = ab ^{0 en 4 = ab 2. Omdat we weten dat b 0 = 1, wordt de eerste vergelijking 2 = a. Het substitueren van een in de tweede vergelijking geeft 4 = 2b 2, wat we vereenvoudigen tot b 2 = 2, of b = vierkantswortel van 2, wat overeenkomt met ongeveer 1,41. De definiërende functie is dan y = 2 (1.41) x.}

Geen punt op de X-as

Als geen van beide x-waarden nul is, is het oplossen van het paar vergelijkingen iets meer omslachtig. Henochmath leidt ons door een eenvoudig voorbeeld om deze procedure te verduidelijken. In zijn voorbeeld koos hij het paar punten (2, 3) en (4, 27). Dit levert het volgende paar vergelijkingen op:

27 = ab ⁴

3 = ab ²

Als je de eerste vergelijking deelt door de tweede, krijg je

9 = b ²

dus b = 3. Het is mogelijk dat b ook gelijk is aan -3, maar in dit geval, neem aan dat het positief is.

U kunt deze waarde voor b in elke vergelijking vervangen om een ​​te krijgen. Het is gemakkelijker om de tweede vergelijking te gebruiken, dus:

3 = a (3) ^{2 die vereenvoudigd kan worden tot 3 = a9, a = 3/9 of 1/3.}

De vergelijking die door deze punten loopt, kan worden geschreven als y = 1/3 (3) ^x.

Een voorbeeld uit de echte wereld

Sinds 1910 heeft de groei van de menselijke bevolking zijn exponentieel en door een groeicurve uit te zetten, zijn wetenschappers beter in staat om te voorspellen en plannen te maken voor de toekomst. In 1910 was de wereldbevolking 1,75 miljard en in 2010 6,87 miljard. Als je 1910 als uitgangspunt neemt, geeft dit het paar punten (0, 1,75) en (100, 6,87). Omdat de x-waarde van het eerste punt nul is, kunnen we gemakkelijk a.

1.75 = ab ^{0 of a = 1.75 vinden. Door deze waarde, samen met die van het tweede punt, in de algemene exponentiële vergelijking in te voegen, wordt 6.87 = 1.75b 100 geproduceerd, wat de waarde van b als de honderdste wortel van 6.87 /1.75 of 3.93 oplevert. Dus de vergelijking wordt y = 1,75 (honderdste wortel van 3,93) x. Hoewel het meer dan een rekenliniaal vereist om dit te doen, kunnen wetenschappers deze vergelijking gebruiken om toekomstige bevolkingsaantallen te projecteren om politici in het heden te helpen een passend beleid te maken.}