De vergelijking van een vlak in de driedimensionale ruimte kan in de algebraïsche notatie worden geschreven als ax + by + cz = d, waarbij ten minste een van de real-number constanten "a", "b" en "c" mag niet nul zijn en "x", "y" en "z" vertegenwoordigen de assen van het driedimensionale vlak. Als drie punten worden gegeven, kunt u het vlak bepalen met vectorkruisproducten. Een vector is een lijn in de ruimte. Een crossproduct is de vermenigvuldiging van twee vectoren.

Verkrijg de drie punten in het vlak. Label ze "A", "B" en "C." Neem bijvoorbeeld aan dat deze punten A = (3, 1, 1) zijn; B = (1, 4, 2); en C = (1, 3, 4).

Zoek twee verschillende vectoren in het vlak. Kies in het voorbeeld vectoren AB en AC. Vector AB gaat van punt A naar punt B en vector AC gaat van punt A naar punt C. Dus trek elke coördinaat in punt A af van elke coördinaat in punt B om vector AB te krijgen: (-2, 3, 1). Evenzo is vector AC punt-C minuspunt-A, of (-2, 2, 3).

Bereken het kruisproduct van de twee vectoren om een ​​nieuwe vector te krijgen, die normaal is (of loodrecht of orthogonaal) naar elk van de twee vectoren en ook naar het vlak. Het kruisproduct van twee vectoren (al, a2, a3) en (b1, b2, b3) wordt gegeven door N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). In het voorbeeld is het crossproduct, N, van AB en AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], wat vereenvoudigt tot N = 7i + 4j + 2k. Merk op dat "i", "j" en "k" worden gebruikt om vectorcoördinaten weer te geven.

Leid de vergelijking van het vlak af. De vergelijking van het vlak is Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, waarbij (a1, a2, a3) elk punt in het vlak is en (Ni, Nj, Nk ) is de normale vector, N. In het voorbeeld, met behulp van punt C, dat is (1, 3, 4), is de vergelijking van het vlak 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, dat vereenvoudigt tot 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, of 7x + 4y + 2z = 27.

Verifieer je antwoord. Vervang de originele punten om te zien of ze voldoen aan de vergelijking van het vlak. Om het voorbeeld te beëindigen, als u een van de drie punten vervangt, ziet u dat de vergelijking van het vlak inderdaad is voldaan.

Tip

Zie bronnen voor tips over het gebruik van systemen van drie gelijktijdige vergelijkingen om de vergelijking van een vlak te vinden.