Het oplossen van de mysteries van elektromagnetisme is tot nu toe een van de grootste verwezenlijkingen van de fysica geweest, en de geleerde lessen zijn volledig ingekapseld in de vergelijkingen van Maxwell.

James Clerk Maxwell geeft zijn naam aan deze vier elegante vergelijkingen, maar ze zijn het hoogtepunt van tientallen jaren werk van veel natuurkundigen, waaronder Michael Faraday, Andre-Marie Ampere en Carl Friedrich Gauss - die hun naam geven aan drie van de vier vergelijkingen - en vele anderen. Hoewel Maxwell zelf slechts een term aan een van de vier vergelijkingen heeft toegevoegd, had hij de vooruitziende blik en het inzicht om het allerbeste van het werk dat over dit onderwerp was gedaan te verzamelen en te presenteren op een manier die nog steeds door natuurkundigen wordt gebruikt.

Gedurende vele, vele jaren geloofden fysici dat elektriciteit en magnetisme afzonderlijke krachten en verschillende fenomenen waren. Maar door het experimentele werk van mensen zoals Faraday, werd het steeds duidelijker dat ze eigenlijk twee kanten van hetzelfde fenomeen waren, en de vergelijkingen van Maxwell geven dit uniforme beeld weer dat vandaag nog steeds zo geldig is als in de 19e eeuw. Als je natuurkunde op hogere niveaus gaat bestuderen, moet je absoluut de vergelijkingen van Maxwell kennen en weten hoe je ze moet gebruiken.
Vergelijkingen van Maxwell

De vergelijkingen van Maxwell zijn als volgt, zowel in de differentiaalvorm als in de integraal het formulier. (Merk op dat hoewel kennis van differentiaalvergelijkingen hier nuttig is, een conceptueel begrip zelfs zonder het mogelijk is.)

Gauss 'wet voor elektriciteit

Differentiële vorm:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Integrale vorm:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Geen monopoolwet /Gauss 'wet voor magnetisme

Differentiaalvorm:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Integrale vorm:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {A} \u003d 0

Inductiewet van Faraday

Differentiaalvorm:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Integrale vorm:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}

Wet Ampere-Maxwell /Wet Ampere

Differentiële vorm:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Integrale vorm:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A } Symbolen gebruikt in de vergelijkingen van Maxwell

De vergelijkingen van Maxwell gebruiken een vrij grote selectie symbolen, en i het is belangrijk dat je begrijpt wat dit betekent als je ze gaat leren toepassen. Dus hier is een samenvatting van de betekenis van de gebruikte symbolen:

B
\u003d magnetisch veld

E
\u003d elektrisch veld

ρ
\u003d elektrische ladingsdichtheid

ε _{0
\u003d permittiviteit van vrije ruimte \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d totale elektrische lading (netto som van positieve en negatieve kosten)

< em> 𝜙
_{B \u003d magnetische flux}

J
\u003d stroomdichtheid

I
\u003d elektrische stroom

c
\u003d lichtsnelheid \u003d 2.998 × 10 ^{8 m /s}

μ
_{0 \u003d doorlaatbaarheid van vrije ruimte \u003d 4π × 10 < sup> −7 NVT ²}

Bovendien is het belangrijk om te weten dat ∇ de del-operator is, een punt tussen twee hoeveelheden ( X
∙ Y
) toont een scalair product, een vetgedrukt vermenigvuldigingssymbool tussen twee hoeveelheden is een vectorproduct ( X
× Y
), dat de del-operator met een punt de "divergentie" wordt genoemd ( bijv. ∇ ∙ X
\u003d d ivergence of X
\u003d div X
) en een del-operator met een scalair product wordt de krul genoemd (bijvoorbeeld ∇ × Y
\u003d krul van Y
\u003d krul Y
). Ten slotte betekent de A
in d A
het oppervlak van het gesloten oppervlak waarvoor u berekent (soms geschreven als d S
), en de s
in d_s_ is een heel klein deel van de grens van het open oppervlak waarvoor u berekent (hoewel dit soms d_l_ is, verwijzend naar een oneindig kleine lijncomponent). Afleiding van de vergelijkingen

De eerste vergelijking van de vergelijkingen van Maxwell is de wet van Gauss en deze stelt dat de netto elektrische flux door een gesloten oppervlak gelijk is aan de totale lading in de vorm gedeeld door de permittiviteit van de vrije ruimte. Deze wet kan worden afgeleid van de wet van Coulomb, na de belangrijke stap te hebben genomen om de wet van Coulomb uit te drukken in termen van een elektrisch veld en het effect dat het zou hebben op een testlading.

De tweede vergelijking van Maxwell is in wezen gelijk aan de bewering dat "er geen magnetische monopolen zijn". Hierin staat dat de netto magnetische flux door een gesloten oppervlak altijd 0 zal zijn, omdat magnetische velden altijd het resultaat zijn van een dipool. De wet kan worden afgeleid van de wet Biot-Savart, die het magnetische veld beschrijft dat wordt geproduceerd door een stroomelement.

De derde vergelijking - de inductiewet van Faraday - beschrijft hoe een veranderend magnetisch veld een spanning in een lus produceert van draad of geleider. Het was oorspronkelijk afgeleid van een experiment. Gezien het resultaat dat een veranderende magnetische flux een elektromotorische kracht (EMF of spanning) en daardoor een elektrische stroom in een draadlus induceert, en het feit dat EMF wordt gedefinieerd als de lijnintegraal van het elektrische veld rond het circuit, wet is eenvoudig in elkaar te zetten.

De vierde en laatste vergelijking, de wet van Ampere (of de wet van Ampere-Maxwell om hem de eer te geven voor zijn bijdrage) beschrijft hoe een magnetisch veld wordt gegenereerd door een bewegende lading of een veranderende elektrisch veld. De wet is het resultaat van een experiment (en dus was - net als alle vergelijkingen van Maxwell - niet echt "afgeleid" in traditionele zin), maar de stelling van Stokes is een belangrijke stap om het basisresultaat in de vorm te krijgen die vandaag wordt gebruikt.
Voorbeelden van Maxwell's vergelijkingen: de wet van Gauss

Om eerlijk te zijn, vooral als je niet precies op de hoogte bent van je vectorberekening, zien de vergelijkingen van Maxwell er nogal ontmoedigend uit, ondanks hoe relatief compact ze allemaal zijn. De beste manier om ze echt te begrijpen, is om enkele voorbeelden te doorlopen om ze in de praktijk te gebruiken, en de wet van Gauss is de beste plaats om te beginnen. De wet van Gauss is in wezen een meer fundamentele vergelijking die het werk van de wet van Coulomb doet, en het is vrij eenvoudig om de wet van Coulomb hieraan af te leiden door het elektrische veld te overwegen dat wordt geproduceerd door een puntlading.

De lading noemen q
, het belangrijkste punt bij het toepassen van de wet van Gauss is het kiezen van het juiste "oppervlak" om de elektrische flux te onderzoeken. In dit geval werkt een bol goed, met een oppervlakte A
\u003d 4π_r_ ^{2, omdat u de bol op de puntlading kunt centreren. Dit is een enorm voordeel voor het oplossen van dit soort problemen, omdat u dan geen wisselend veld over het oppervlak hoeft te integreren; het veld zal symmetrisch zijn rond de puntlading, en dus zal het constant zijn over het oppervlak van de bol. Dus de integrale vorm:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Kan worden uitgedrukt als:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Merk op dat de E
voor het elektrische veld is vervangen door een eenvoudige magnitude, omdat het veld van een puntlading zich eenvoudig gelijkelijk zal verspreiden in alle richtingen vanaf de bron. Nu, delen door het oppervlak van de bol geeft:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Omdat de kracht gerelateerd is aan het elektrische veld door E
\u003d < em> F
/ q
, waarbij q
een testlading is, F
\u003d qE
, en dus:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Waar de subscripts zijn toegevoegd om de twee kosten te onderscheiden. Dit is de wet van Coulomb in standaardvorm, waarvan wordt aangetoond dat het een eenvoudig gevolg is van de wet van Gauss.
Voorbeelden van Maxwell's vergelijkingen: de wet van Faraday

De wet van Faraday stelt u in staat om de elektromotorische kracht in een lus te berekenen als gevolg van een veranderend magnetisch veld. Een eenvoudig voorbeeld is een draadlus, met straal r
\u003d 20 cm, in een magnetisch veld dat in grootte toeneemt van B
_{i \u003d 1 T tot B
f \u003d 10 T in de ruimte van ∆ t
\u003d 5 s - wat is de geïnduceerde EMF in dit geval? De integrale vorm van de wet omvat de flux:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

die wordt gedefinieerd als:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

Het belangrijkste deel van het probleem hier is het vinden van de mate van verandering van flux, maar omdat het probleem vrij eenvoudig is, kunt u de gedeeltelijke afgeleide vervangen door een eenvoudige "verandering in" elke aantal stuks. En de integraal betekent eigenlijk alleen de elektromotorische kracht, dus u kunt de inductiewet van Faraday herschrijven als:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Als we neem aan dat de draadlus normaal is uitgelijnd met het magnetische veld, θ
\u003d 0 ° en dus cos ( θ
) \u003d 1. Dit laat:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

Het probleem kan vervolgens worden opgelost door het verschil te vinden tussen het eerste en laatste magnetische veld en het gebied van de lus, als volgt:
\\ begin {uitgelijnd} \\ text {EMF} & \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t} \\\\ & \u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ & \u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ text {T}) × π × (0.2 \\ text {m}) ^ 2} {5 \\ text {s}} \\\\ & \u003d - 0.23 \\ text {V} \\ end {uitgelijnd }

Dit is slechts een kleine spanning, maar de wet van Faraday wordt hoe dan ook op dezelfde manier toegepast.
Voorbeelden van Maxwell's vergelijkingen: wet Ampere-Maxwell

De wet Ampere-Maxwell is de laatste van Maxwell's vergelijkingen die u regelmatig moet toepassen. De vergelijking keert terug naar de wet van Ampere bij afwezigheid van een veranderend elektrisch veld, dus dit is het gemakkelijkste voorbeeld om te overwegen. Je kunt het gebruiken om de vergelijking af te leiden voor een magnetisch veld dat resulteert uit een rechte draad met een stroom I
, en dit basisvoorbeeld is voldoende om aan te tonen hoe de vergelijking wordt gebruikt. De volledige wet is:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E ∙} d \\ bm {A}

Maar zonder een veranderend elektrisch veld vermindert het tot:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Nu, net als bij Gauss 'wet, als je een cirkel voor het oppervlak kiest, gecentreerd op de draadlus, suggereert intuïtie dat het resulterende magnetische veld symmetrisch zal zijn, en dus kun je de integraal vervangen door een eenvoudig product van de omtrek van de lus en de magnetische veldsterkte, vertrek:
B × 2πr \u003d μ_0 I

Delen door 2π_r_ geeft:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

Wat is de geaccepteerde uitdrukking voor het magnetische veld bij een afstand r
als gevolg van een rechte draad die een stroom draagt.
Elektromagnetische golven

Toen Maxwell zijn set vergelijkingen verzamelde, begon hij oplossingen voor hen te vinden om verschillende fenomenen in de echte wereld, en het inzicht dat het in het licht gaf, is een van de belangrijkste resultaten die hij heeft verkregen.

B Omdat een veranderend elektrisch veld een magnetisch veld genereert (volgens de wet van Ampère) en een veranderend magnetisch veld een elektrisch veld genereert (volgens de wet van Faraday), werkte Maxwell uit dat een zichzelf propagerende elektromagnetische golf mogelijk zou kunnen zijn. Hij gebruikte zijn vergelijkingen om de golfvergelijking te vinden die een dergelijke golf zou beschrijven en bepaalde dat deze met de snelheid van het licht zou reizen. Dit was een soort eureka-moment; hij realiseerde zich dat licht een vorm van elektromagnetische straling is, die werkt net als het veld dat hij zich had voorgesteld!

Een elektromagnetische golf bestaat uit een elektrische veldgolf en een heen en weer oscillerende magnetische veldgolf, uitgelijnd in rechte hoeken op elk andere. De oscillatie van het elektrische deel van de golf genereert het magnetische veld, en het oscilleren van dit deel produceert op zijn beurt weer een elektrisch veld, steeds weer terwijl het door de ruimte reist.

Net als elke andere golf, een elektromagnetische golf heeft een frequentie en een golflengte, en het product hiervan is altijd gelijk aan c
, de snelheid van het licht. Elektromagnetische golven zijn overal om ons heen, en naast zichtbaar licht worden andere golflengten gewoonlijk radiogolven, microgolven, infrarood, ultraviolet, röntgenstralen en gammastralen genoemd. Al deze vormen van elektromagnetische straling hebben dezelfde basisvorm als uitgelegd door de vergelijkingen van Maxwell, maar hun energieën variëren met de frequentie (dat wil zeggen, een hogere frequentie betekent een hogere energie).

Dus voor een fysicus was het Maxwell die zei: "Er zij licht!"