Voor degenen onder ons die niet wiskundig ingesteld zijn:het idee van denkbeeldige getallen is een beetje raadselachtig. Wat betekent dat in hemelsnaam eigenlijk? Zijn dit verzonnen cijfers? Zijn ze onzichtbaar als denkbeeldige vrienden? Stuur wiskundehulp!

1. Wat is een denkbeeldig getal?
2. Berekenen met complexe en denkbeeldige getallen
3. Denkbeeldige getallen zijn punten op een vlak

Wat is een denkbeeldig getal?

Een denkbeeldig getal – feitelijk een getal dat, wanneer het wordt gekwadrateerd, resulteert in een negatief getal – werd voor het eerst vastgesteld in de 15e en 16e eeuw als een manier om bepaalde verwarrende vergelijkingen op te lossen.

Hoewel ze aanvankelijk werden gezien als een soort salontruc, zijn denkbeeldige getallen in de eeuwen daarna gezien als een hulpmiddel om de wereld op complexe manieren te conceptualiseren, en zijn ze tegenwoordig nuttig op gebieden variërend van elektrotechniek tot kwantummechanica. P>

"We hebben denkbeeldige getallen uitgevonden om dezelfde redenen als waarom we negatieve getallen hebben uitgevonden", legt Cristopher Moore uit. Hij is natuurkundige aan het Santa Fe Institute, een onafhankelijk onderzoeksinstituut in New Mexico, en co-auteur, samen met Stephan Mertens, van het boek 'The Nature of Computation' uit 2011.

"Begin met gewone rekenkunde", vervolgt Moore. "Wat is twee min zeven? Als je nog nooit van negatieve getallen hebt gehoord, slaat dat nergens op. Er is geen antwoord. Je kunt geen negatieve vijf appels hebben, toch? Maar denk er eens zo over na. Je zou mij iets schuldig kunnen zijn." vijf appels, of vijf dollar. Toen mensen eenmaal begonnen met boekhouden en boekhouden, hadden we dat concept nodig."

Op dezelfde manier zijn we tegenwoordig allemaal bekend met het idee dat als we grote cheques uitschrijven om dingen te betalen, maar niet genoeg geld hebben om ze te betalen, we een negatief saldo op onze bankrekeningen kunnen hebben.

Rekenen met complexe en denkbeeldige getallen

Een andere manier om naar negatieve getallen te kijken – en dit zal later van pas komen – is door rond te lopen in een stadswijk, zegt Moore.

Als je een verkeerde afslag maakt en in de tegenovergestelde richting van onze bestemming (bijvoorbeeld vijf blokken naar het zuiden, terwijl je naar het noorden had moeten gaan), zou je het kunnen zien als vijf negatieve blokken naar het noorden lopen.

"Door negatieve getallen te bedenken, breidt het je wiskundige universum uit en kun je praten over dingen die voorheen moeilijk waren", zegt Moore.

Denkbeeldige getallen en complexe getallen – dat wil zeggen getallen die een denkbeeldige component bevatten – zijn een ander voorbeeld van dit soort creatief denken. Zoals Moore het uitlegt:"Als ik je vraag:wat is de wortel van negen, dan is dat makkelijk, toch? Het antwoord is drie - hoewel het ook negatief drie kan zijn", aangezien het vermenigvuldigen van twee negatieve getallen positief resulteert.

Maar wat is de wortel van de negatieve? Is er een getal dat, vermenigvuldigd met zichzelf, een negatief getal oplevert? "Op een bepaald niveau bestaat zo'n aantal niet", zegt Moore.

Maar wiskundigen uit de Renaissance bedachten een slimme manier om dat probleem te omzeilen. "Voordat we negatieve getallen uitvonden, bestond er niet zo'n getal dat twee min zeven was", vervolgt Moore. "Dus misschien moeten we een getal verzinnen dat de wortel is van de negatieve één. Laten we het een naam geven. i ."

Toen ze eenmaal het concept van een denkbeeldig getal hadden bedacht, ontdekten wiskundigen dat ze er heel coole dingen mee konden doen. Onthoud dat het vermenigvuldigen van een positief getal met een negatief getal gelijk is aan een negatief getal, maar het vermenigvuldigen van twee negatieve getallen met elkaar is gelijk aan een positief getal.

Maar wat gebeurt er als je i begint te vermenigvuldigen maal zeven, en dan maal i opnieuw? Omdat ik maal i negatief één is, is het antwoord negatief zeven. Maar als je zeven keer i vermenigvuldigt maal i maal i maal i , ineens krijg je positieve zeven. "Ze heffen elkaar op", merkt Moore op.

Denk daar nu eens over na. Je hebt een denkbeeldig getal genomen, dit meerdere keren in een vergelijking gestopt en uiteindelijk een werkelijk getal gekregen dat je in de echte wereld vaak gebruikt.

Denkbeeldige getallen zijn punten op een vlak

Pas een paar honderd jaar later, begin 19e eeuw, ontdekten wiskundigen een andere manier om denkbeeldige getallen te begrijpen:ze te beschouwen als punten in een vlak, legt Mark Levi uit. Hij is professor en hoofd van de wiskundeafdeling van Penn State University en auteur van het boek uit 2012 "Why Cats Land on Their Feet:And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles."

Als we getallen beschouwen als punten op een lijn en er vervolgens een tweede dimensie aan toevoegen, "zijn de punten op dat vlak de denkbeeldige getallen", zegt hij.

Stel je een getallenlijn voor. Als je aan een negatief getal denkt, is het 180 graden verwijderd van de positieve getallen op de lijn. "Als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, tel je de hoeken ervan op, 180 graden plus 180 graden, en je krijgt 360 graden. Daarom is het positief", legt Levi uit.

Maar je kunt de vierkantswortel van de negatieve één nergens op de X-as plaatsen. Het werkt gewoon niet. Als je echter een Y-as maakt die loodrecht op de X staat, heb je nu een plek om deze te plaatsen.

En ook al lijken denkbeeldige getallen slechts een wiskundig wiskundig verzinsel, ze zijn eigenlijk heel nuttig voor bepaalde belangrijke berekeningen in de moderne technologische wereld, zoals het berekenen van de luchtstroom over een vliegtuigvleugel, of het berekenen van het energieverlies. van weerstand gecombineerd met oscillatie in een elektrisch systeem.

Complexe getallen met denkbeeldige componenten zijn ook nuttig in de theoretische natuurkunde, legt Rolando Somma uit, een natuurkundige die werkt aan kwantumcomputeralgoritmen bij het Los Alamos National Laboratory.

"Vanwege hun relatie met goniometrische functies zijn ze nuttig voor het beschrijven van bijvoorbeeld periodieke functies", zegt Somma via e-mail. "Deze ontstaan ​​als oplossingen voor de golfvergelijkingen, dus gebruiken we complexe getallen om verschillende golven te beschrijven, zoals een elektromagnetische golf. Dus, net als in de wiskunde, is complexe calculus in de natuurkunde een uiterst nuttig hulpmiddel om berekeningen te vereenvoudigen."

Complexe getallen spelen ook een rol in de kwantummechanica, een theorie die het gedrag van de natuur beschrijft op de schaal van atomen en subatomaire deeltjes.

"In de kwantummechanica komt i expliciet voor in de vergelijking van Schrödinger", legt Somma uit. "Complexe getallen lijken dus een fundamentelere rol te spelen in de kwantummechanica dan alleen maar te dienen als een nuttig rekeninstrument."

‘De toestand van een kwantumsysteem wordt beschreven door zijn golffunctie’, vervolgt hij. "Als oplossing voor de vergelijking van Schrödinger is deze golffunctie een superpositie van bepaalde toestanden, en de getallen die in de superpositie voorkomen zijn complex. Interferentieverschijnselen in de kwantumfysica kunnen bijvoorbeeld eenvoudig worden beschreven met behulp van complexe getallen."

Dat is interessant

Denkbeeldige getallen worden ook genoemd in Dan Browns bestseller 'The Da Vinci Code' uit 2003 en Thomas Pynchons roman 'Against the Day' uit 2012.

Dit artikel is bijgewerkt in combinatie met AI-technologie, vervolgens op feiten gecontroleerd en bewerkt door een HowStuffWorks-editor.

Veelgestelde vragen

Wat zijn denkbeeldige getallen?

Denkbeeldige getallen zijn getallen die, wanneer ze worden gekwadrateerd, resulteren in een negatief getal. Het concept werd voor het eerst bedacht in de 15e en 16e eeuw om complexe vergelijkingen op te lossen.

Wat is een complex getal?

Een complex getal is een getal dat zowel een reëel deel als een imaginair deel omvat. Het wordt weergegeven als een combinatie van een reëel getal en een denkbeeldig getal (bi).

Kun je het complexe vlak uitleggen?

Het complexe vlak is een tweedimensionaal vlak waarin complexe getallen in een grafiek worden weergegeven. De horizontale as vertegenwoordigt het reële deel, en de verticale as, vaak de denkbeeldige as genoemd, vertegenwoordigt het denkbeeldige deel.

Hoe vind je vierkantswortels van negatieve getallen?

Bij de vierkantswortels van negatieve getallen wordt de denkbeeldige eenheid 'i' gebruikt. De vierkantswortel van -1 is bijvoorbeeld i en de vierkantswortel van -9 is 3i.

Kunnen denkbeeldige getallen worden gebruikt om kwadratische vergelijkingen op te lossen?

Ja, denkbeeldige getallen kunnen cruciaal zijn bij het vinden van de wortels van kwadratische vergelijkingen die geen echte oplossingen hebben.

Hoe werken denkbeeldige en reële getallen samen in het getalsysteem?

Denkbeeldige en reële getallen bestaan ​​naast elkaar binnen het bredere concept van complexe getallen. Ze kunnen communiceren via bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.