Het toevoegen van één eenvoudige regel aan een geïdealiseerd biljartspel leidt tot een schat aan intrigerende wiskundige vragen, evenals toepassingen in de fysica van levende organismen. Deze week hebben onderzoekers van de Universiteit van Amsterdam, waaronder twee masterstudenten als eerste auteurs, een paper gepubliceerd in Physical Review Letters over de fascinerende dynamiek van biljart met geheugen.

Een geïdealiseerde versie van het biljartspel fascineert wiskundigen al tientallen jaren. De fundamentele vraag is eenvoudig:als een biljartbal eenmaal is gespeeld, waar gaat hij dan heen en waar komt hij terecht? Stel dat het biljart perfect is:de muren zijn perfect veerkrachtig, er liggen geen andere voorwerpen op de tafel, de beweging van de bal is wrijvingsloos, enzovoort. Dan zal de bal nergens echt "eindigen"; het zal voor altijd doorgaan.

Maar keert het ooit terug naar waar het begon? Bezoekt het uiteindelijk elk deel van de tafel? Als we de richting van de bal, of de startlocatie, enigszins veranderen, lijkt het pad dat hij volgt dan op het vorige?

Al deze vragen blijken wiskundig gezien zeer intrigerend. Hun antwoorden zijn niet altijd bekend, vooral als de vorm van het biljart niet eenvoudig is, zoals een vierkant of een rechthoek. Bij driehoekige biljarts met hoeken van minder dan 100 graden is het bijvoorbeeld bekend dat er altijd periodieke paden zijn:paden die de bal kan volgen en die op zichzelf terugkeren.

Dit kan wiskundig worden bewezen. Verander nu een van de hoeken in een iets grotere hoek, en geen enkele wiskundige weet het antwoord meer.

Geïdealiseerde biljartspellen zijn niet alleen een favoriet tijdverdrijf van wiskundigen. Ze hebben ook een diepgaande invloed op de natuurkunde en andere wetenschappen. Veel van de vragen over biljart kunnen worden geformuleerd als vragen over chaos:leiden soortgelijke beginvoorwaarden van een dynamisch systeem – of het nu een bal op een biljarttafel is, een molecuul in een gas of een vogel in een kudde – altijd tot soortgelijke uiteindelijke omstandigheden? resultaten?

Een nieuwe regel

In onderzoek uitgevoerd aan de Universiteit van Amsterdam heeft een team van natuurkundigen zich gerealiseerd dat door de regels van het biljartspel enigszins te veranderen, het aantal toepassingen in de echte wereld nog verder toeneemt.

Mazi Jalaal, co-auteur van de publicatie en hoofd van de groep waarin het onderzoek werd gedaan, legt uit:“In de natuur hebben veel levende organismen een externe vorm van geheugen. Ze laten bijvoorbeeld sporen achter om te onthouden waar ze zijn geweest. Ze kunnen die informatie vervolgens gebruiken om dezelfde route opnieuw te volgen, of – bijvoorbeeld bij het zoeken naar voedsel – om diezelfde regio niet meer te verkennen."

Deze laatste optie bracht de onderzoekers tot een interessant idee:wat als we één regel aan het biljartspel toevoegen, namelijk dat de bal nooit zijn eigen vorige pad mag kruisen? Het resultaat is dat de effectieve grootte van de biljarttafel steeds kleiner wordt. Sterker nog, de bal komt uiteindelijk vast te zitten in zijn eigen traject.

Intrigerende nieuwe vragen

Het vangeffect maakt het systeem nog intrigerender. Zelfs eenvoudige vragen worden nu uiterst fascinerend. Hoe ver reist een bal voordat hij vast komt te zitten? Het antwoord varieert, zowel afhankelijk van de vorm van de tafel als van het startpunt en de richting van de bal.

Soms legt de bal een lengte af die slechts een paar keer zo groot is als de tafel, soms kan hij wel 100 keer die lengte afleggen voordat hij vast komt te zitten. Waar de bal uiteindelijk in zijn gevangen toestand terechtkomt, is ook een ingewikkelde vraag; het miljoenen keren herhalen van het experiment op een computer, telkens met een iets andere startpositie en snelheid, leidt tot prachtige patronen van eindconfiguraties.

De afbeelding bovenaan deze tekst toont enkele van deze prachtige voorbeelden. Interessant genoeg kunnen de resulterende dynamische systemen chaotisch zijn. Als u de startpositie of snelheid van de zelfontwijkende bal slechts in geringe mate verandert, kan dit ertoe leiden dat deze op een heel ander punt op het biljart vast komt te zitten.

Bovendien is het niet zo waarschijnlijk dat de zelfontwijkende bal, in tegenstelling tot wat er op een gewone biljarttafel gebeurt, zomaar ergens terechtkomt. Sommige regio's zijn waarschijnlijker dan andere. Om al deze kenmerken uit te leggen en te bewijzen, hebben de wiskundigen zeker hun werk te doen.

Eindeloze toepassingen

Een interessant kenmerk van de publicatie is dat beide eerste auteurs masterstudenten zijn. Jalaal voegt hieraan toe:"Het idee van een 'biljart met geheugen' is eenvoudig genoeg en nieuw genoeg dat het bestuderen ervan geen jarenlange ervaring vereist. Thijs en Stijn hebben geweldig werk geleverd door zich de stof eigen te maken en slimme manieren te vinden om al deze dingen te bestuderen. nieuwe open problemen. Ik ben erg blij dat ze al hoofdauteur van een publicatie kunnen zijn."

De resultaten zijn slechts de eerste stappen in wat een heel nieuw onderzoeksgebied zou kunnen zijn. Er zijn niet alleen veel interessante wiskundige vragen die nu wachten om beantwoord te worden; de toepassingen in de natuurkunde, inclusief de biofysica, zijn ook eindeloos.

Jalaal zegt:"Het concept van vangen vraagt ​​om onderzoek, ook in systemen in het echte leven. We weten bijvoorbeeld dat eencellige slijmzwammen zichzelf vermijdende paden gebruiken. Komen ze ook vast te zitten, en wat gebeurt er als Doen ze dat? Of hebben ze slimme mechanismen om te voorkomen dat dit überhaupt gebeurt?

"De resultaten zouden ons helpen deze biologische systemen beter te begrijpen, en misschien zelfs de lessen te integreren die we leren om deze vorm van biljart met geheugen te optimaliseren voor gebruik in robots."

Meer informatie: Thijs Albers et al, Biljart met ruimtelijk geheugen, Fysieke recensiebrieven (2024). DOI:10.1103/PhysRevLett.132.157101. Op arXiv :DOI:10.48550/arxiv.2307.01734

Journaalinformatie: Fysieke beoordelingsbrieven , arXiv

Aangeboden door Universiteit van Amsterdam