Sinds de oprichting van de renormalisatiegroepentheorie, het is bekend dat systemen van kritische fenomenen typisch een bovenste kritische dimensie dc hebben (dc=4 voor het O(n)-model), zodanig dat in ruimtelijke dimensies op of hoger dan de dc, het thermodynamisch gedrag wordt bepaald door kritische exponenten die gemiddelde veldwaarden aannemen. In tegenstelling tot de eenvoud van het thermodynamisch gedrag, de theorie van finite-size scaling (FSS) voor de d> dc O(n)-model was verrassend subtiel en was tot voor kort onderwerp van voortdurend debat gebleven, wanneer een twee-lengte schaling ansatz voor de tweepuntscorrelatiefunctie werd vermoed, numeriek bevestigd, en deels ondersteund door analytische berekeningen.

Bij de bovenste kritische dimensionaliteit dc, multiplicatieve en additieve logaritmische correcties komen over het algemeen voor op het blote gemiddelde veldgedrag. De verduidelijking van logaritmische correcties in FSS wordt 'notoir moeilijk, ' vanwege het gebrek aan analytische inzichten buiten het fenomenologische niveau en de limiet van systeemgroottes die beschikbaar zijn in numerieke simulaties. De precieze logaritmische FSS-vorm bij d=dc is al lang een probleem gebleven.

Onlangs, Jian-Ping Lv, Wanwan Xu, en Yanan Sun van de Anhui Normal University, Kun Chen uit Rutgers, de Staatsuniversiteit van New Jersey, en Youjin Deng van de Universiteit voor Wetenschap en Technologie van China en de Universiteit van Minjiang gingen in op de logaritmische FSS van de O(n)-symmetrie in de bovenste kritische dimensionaliteit. Inzichten lenen uit hogere dimensies, ze hebben een expliciete schaalvorm vastgesteld voor de vrije energiedichtheid, die tegelijkertijd bestaat uit een schaalterm voor het Gaussiaanse vaste punt en een andere term met multiplicatieve logaritmische correcties. Vooral, ze vermoedden dat de kritische tweepuntscorrelatie van eindige grootte een gedrag met twee lengtes vertoont, die wordt beheerst door een Gaussiaans vast punt op kortere afstand, en betreedt een plateau op grotere afstand waarvan de hoogte afneemt met de systeemgrootte in een machtswet gecorrigeerd door een logaritmische exponent.

Op deze basis, de FSS van verschillende macroscopische grootheden werden voorspeld. Vervolgens voerden ze uitgebreide Monte Carlo-simulaties uit voor het n-vectormodel met n=1, 2, 3, en verkregen solide bewijs ter ondersteuning van de veronderstelde schaalvormen van de FSS van de gevoeligheid, de magnetische fluctuaties bij niet-nul Fourier-modi, het bindmiddel cumulant, evenals de tweepuntscorrelatie op de afstand van de helft van de lineaire systeemgrootte. Dit is een belangrijke stap in de richting van een complete oplossing van de logaritmische FSS bij d=dc voor systemen met een hogere kritische dimensionaliteit.

De studie is niet alleen van theoretisch belang in modelsystemen, maar ook van praktisch belang voor een groot aantal experimentele systemen. Opgemerkt wordt dat als gevolg van technologische ontwikkelingen, de experimentele realisatie van het O(n)-model is nu beschikbaar in verschillende fysieke systemen, waaronder kwantummagnetische materialen, Josephson junction arrays, en ultrakoude atoomsystemen. Volgens de kwantum-naar-klassieke mapping, de driedimensionale quantum O(n)-systemen bevinden zich op de bovenste kritische dimensionaliteit.