Vaak gebruikt voor kinderplezier, zeepbellen zijn delicaat, lichtreflecterende films die meestal maar een paar seconden duren voordat ze barsten. Maar buiten hun waarde om te entertainen, zeepbellen zijn fysieke voorbeelden van het rijke wiskundige probleem van minimale oppervlakken; ze nemen de vorm aan van een zo klein mogelijk oppervlak, met een bepaald volume. Onderzoekers van de Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University (OIST) hebben onlangs de oplossing uitgewerkt voor een wiskundig probleem - bekend als het Kirchhoff-Plateau-probleem - dat eenvoudig wordt geïllustreerd door zeepfilms die flexibele lussen overspannen.

"Onze oplossing van het Kirchhoff-Plateau-probleem levert prachtige wiskundige resultaten op die dicht bij wat er in de fysieke wereld gebeurt, " zegt dr. Giulio Giusteri, co-auteur van het artikel dat onlangs werd gepubliceerd in het Journal of Nonlinear Science. Dr. Giusteri werkte samen met professor Eliot Fried, die aan het hoofd staat van OIST's Mathematical Soft Matter Unit, en Dr. Luca Lussardi van de Università Cattolica del Sacro Cuore in Italië.

De vraag die het team beantwoordt is een variant van het "Plateauprobleem", een eeuwenoud wiskundig probleem, vernoemd naar de 19e-eeuwse Belgische natuurkundige, Joseph Plateau. Plateau veronderstelde dat wanneer je een stijf draadframe in een zeepoplossing dompelt, het oppervlak van de zeepfilm gevormd op het frame vertegenwoordigt een wiskundig minimaal mogelijk gebied, ongeacht de vorm van het frame.

De eerste bevredigende oplossing voor het plateauprobleem werd in de 20e eeuw gegeven, door de Amerikaanse wiskundige Jesse Douglas, waarvoor hij in 1936 de Fields Medal ontving. Meer recentelijk, in 2014, Professor Jenny Harrison van UC Berkeley breidde het werk van Douglas uit, het leveren van een bewijs dat geldig is onder algemene hypothesen, waaronder, bijvoorbeeld, situaties waarin knooppunten aanwezig zijn waar meerdere zeepfilms elkaar ontmoeten.

In tegenstelling tot het Plateauprobleem waarbij een zeepfilm een ​​vast frame overspant, het Kirchhoff-Plateau-probleem betreft de evenwichtsvormen van zeepfilms die flexibele lussen overspannen, gemaakt, bijvoorbeeld, van vislijn, dat kan worden beschreven met behulp van de staaftheorie van Kirchhoff - een model dat een krachtige benadering biedt voor het bestuderen van de statica en dynamica van dunne elastische staven. De complicatie is dat een flexibele lus van vorm kan veranderen als reactie op de kracht die wordt uitgeoefend door de zeepfilm. Als zodanig, een oplossing voor het probleem vereist niet alleen de vorm van de zeepfilm, maar ook de vorm van de begrenzingslus. In tegenstelling tot, de vorm van de begrenzing in het oorspronkelijke Plateau-probleem is bekend omdat deze is gemaakt van starre draad die gefixeerd blijft tegen de relatief zwakke krachten van de zeepfilm.

Een extra complicatie die samenhangt met het Kirchhoff-Plateau-probleem is dat, in tegenstelling tot het oorspronkelijke Plateau-probleem, waarbij de grens wordt verondersteld eendimensionaal te zijn, een Kirchhoff-staaf is een driedimensionaal object. Hoewel filamenten zoals vislijnen dun zijn, ze zijn orden van grootte dikker dan een zeepfilm in evenwicht, wat betekent dat het gebied van de zeepfilm kan veranderen afhankelijk van het punt waarop de film in contact komt met de lus.

De onderzoekers hebben al deze fysieke effecten met succes vertaald naar wiskundige termen. Zoals prof. Fried uitlegt:"Hoe sterk de concurrentie tussen de oppervlaktespanning van de zeepfilm en de elastische respons van de lus ook is, het systeem kan zich altijd aanpassen om een ​​configuratie met de minste energie te bereiken."

De oplossing voor het Kirchhoff-Plateau-probleem draagt ​​niet alleen bij aan het begrip van energie door wiskundige vormen te minimaliseren, maar kan ook worden toegepast op biologische systemen. Bijvoorbeeld, het zou ons kunnen helpen begrijpen hoe de vorm van een eiwit bepaalt hoe het interageert met en bindt aan een oppervlak.

Het team werkt nu aan computersimulaties die, op basis van dit wiskundige model, kan het gedrag van fysieke systemen voorspellen.