Iedereen die ooit verliefd is geworden, zal je vertellen dat het de kleine dingen van de ander zijn die ertoe doen. De dwaze in-grappen gedeeld aan het eind van de dag. De eigenaardigheden van het ochtendkoffieritueel van de ander. Zoals hij of zij oude paperbacks op het nachtkastje laat opstapelen. Zulke onderling verbonden details gaan ons definiëren. Ze traceren de onderstromen van onze persoonlijkheid, en, voor het oplettende en liefhebbende oog, ze verlichten ware schoonheid.

In de ogen van sommigen er is geen fijnere schoonheid dan die in de wiskunde wordt gevonden. Ze kijken naar de wereld van cijfers en, net zoals je je menselijke geliefde nooit alleen zou definiëren door zijn of haar beroep of haarkleur, de wiskundeliefhebber kijkt verder dan alleen de functie van getallen. Liefhebbers van 6, 28 en 496 veranderen in iets subliemer dan simpele informatiedragers. Onafhankelijk van hun gebruik, getallen worden fascinerende entiteiten, en hun wiskundige relaties drukken de complexiteit uit van een enorm systeem dat de natuur zelf ondersteunt.

De studie van die soms subtiele en verreikende relaties is nummer theorie , soms aangeduid als hogere rekenkunde . Getaltheoretici onderzoeken de eigenschappen van gehele getallen , de natuurlijke getallen die je kent als -1, -2, 0, 1, 2 enzovoort. Het is deels theoretisch en deels experimenteel, terwijl wiskundigen fascinerende en zelfs onverwachte wiskundige interacties proberen te ontdekken.

Wat voor relaties? We zullen, we categoriseren gehele getallen in verschillende getaltypen op basis van hun relaties. Er zijn, natuurlijk, oneven nummers (1, 3, 5 …), die niet gelijk verdeeld kunnen worden, en even getallen (2, 4, 6 …), welke kan. Er zijn vierkante getallen , geproduceerd door een ander getal met zichzelf te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld, 2 x 2 =4 en 3 x 3 =9, dus 4 en 9 zijn beide vierkante getallen. Zo is 1 (1 x 1 =1) en zo is 9, 801 (99 x 99 =9, 801). We drukken deze vier voorbeelden ook uit als 2 ² , 3 ² , 1 ² en 99 ² .

Laten we nu een ander niveau van intriges aan dit voorbeeld toevoegen. In sommige gevallen, we kunnen vierkante getallen bij elkaar optellen om andere gekwadrateerde getallen te produceren in wat a . wordt genoemd Pythagoras triple , zoals ze passen bij de de stelling van Pythagoras (een ² + b ² =c ² ). Een voorbeeld hiervan is 3 ² + 4 ² =5 ² , of 3, 4, 5.

Getaltheorie omvat het analyseren van dergelijke wiskundige relaties, evenals nieuwe vragen over hen te stellen. Maar wat is een theorie van getallen precies? Wat komt er kijken bij het formuleren van een bewijs, en waarom blijven sommige wiskundige vragen eeuwenlang onbeantwoord?

Vragen in getaltheorie

Dus, de wereld van wiskunde biedt tal van nummertypen, elk met zijn eigen specifieke eigenschappen. Wiskundigen formuleren theorieën over de relaties tussen getallen en getalgroepen. Ze ondersteunen hun theorieën met axioma's (eerder vastgestelde verklaringen verondersteld waar te zijn) en stellingen (uitspraken gebaseerd op andere stellingen of axioma's).

De eerste stap in het bouwen van een glanzende, nieuwe, wiskundige theorie, echter, stelt een theoretische vraag over getalsrelaties. Bijvoorbeeld, kan de som van twee kubussen een kubus zijn? Herinner je je de Pythagoreïsche triples van de vorige pagina nog? Deze trio's van drie nummers, zoals (3, 4, 5), los de vergelijking a . op ² + b ² =c ² . Maar hoe zit het met een ³ + b ³ =c ³ ? Wiskundige Pierre de Fermat stelde dezelfde vraag over kubussen en, in 1637, hij beweerde een wiskundige te hebben uitgewerkt een bewijs Dat, via regel na regel van nauwgezette logica, toonde zonder enige twijfel aan dat nee, de som van twee kubussen kan geen kubus zijn. We noemen dit De laatste stelling van Fermat . Helaas, in plaats van het volledige bewijs in zijn aantekeningen te leveren, Fermat schreef alleen, "Ik heb een werkelijk prachtige demonstratie van deze stelling waarvoor deze marge te smal is om te bevatten" [bron:NOVA].

Meer dan drie en een halve eeuw volgden waarin wiskundigen over de hele wereld tevergeefs probeerden Fermats bewijs te herontdekken. Wat reed er op deze zoektocht? Niks, red academische trots en de liefde voor puur, abstracte wiskunde. Toen, 1993, met behulp van computationele wiskunde die nog niet ontdekt was in Fermats tijd, De Engelse wiskundige Andrew Wiles slaagde erin de 356 jaar oude stelling te bewijzen. Deskundigen blijven betwisten of Fermat werkelijk zo'n fenomenaal bewijs heeft geleverd in zijn pre-computertijdperk, of hij zich vergiste.

Andere vragen in de getaltheorie hadden betrekking op verschillende waargenomen of theoretische patronen in getallen of getalgroepen. Het begint allemaal met dat meest cruciale aspect van intelligent denken:patroonherkenning. Joseph H. Silverman, professor wiskunde aan de Brown University, beschrijft vijf basisstappen in de getaltheorie:

• Verzamel wiskundige of abstracte gegevens.
• Onderzoek de gegevens en zoek naar patronen of relaties.
• Formuleer een vermoeden (meestal in de vorm van een vergelijking) om deze patronen of relaties te verklaren.
• Test het vermoeden met aanvullende gegevens.
• Bedenk een bewijs waaruit blijkt dat het vermoeden juist is. Het bewijs moet beginnen met bekende feiten en eindigen met het gewenste resultaat.

De laatste stelling van Fermat, daarom, was echt een vermoeden gedurende 356 jaar en werd pas een echte stelling in 1993. Anderen, zoals Euclid's Proof of Infinite Primes (wat bewijst dat priemgetallen onbeperkt zijn), is sinds 300 voor Christus een solide model van wiskundig redeneren gebleven. Nog andere vermoedens van de getaltheorie, zowel oud als nieuw, onbeschermd blijven.

Getallen zijn zo oneindig als het menselijk begrip eindig is, dus getaltheorie en zijn verschillende deelgebieden zullen de geesten van wiskundeliefhebbers eeuwenlang blijven boeien. Oude problemen kunnen vallen, maar er zullen nieuwe en meer gecompliceerde vermoedens opkomen.

Bekijk de links op de volgende pagina voor meer informatie over wiskunde.

Voor het grootste gedeelte, getaltheorie blijft een puur abstract gebied van wiskundige studie, maar er bestaan ​​wel toepassingen op het gebied van cryptografie, waar getaltheorie eenvoudige maar zeer veilige codes kan creëren. Andere toepassingsgebieden zijn onder meer digitale informatieverwerking, computergebruik, akoestiek en kristallografie.

Veel meer informatie

gerelateerde artikelen

• Hoe wiskunde werkt
• Hoe bits en bytes werken
• Hoe fractalen werken
• Hoe mozaïekwerk werkt
• Wat waren de beroemde uitvindingen van Blaise Pascal?

bronnen

• LeVeque, William J. "Elementaire theorie van getallen." Dover-publicaties, Inc. 1990.
• Zilverman, Joseph H. "Een vriendelijke inleiding tot getaltheorie." 1997. Prentice-zaal.
• "Fermat oplossen:Andrew Wiles." NOVA Online. november 2000. (9 juni 2011) http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html