De woorden "onzekerheid" en "meerdere criteria" karakteriseren de relevantie en complexiteit van moderne problemen met betrekking tot de besturing van dynamische objecten en processen. In feite, elk wiskundig model dat complexe gecontroleerde processen beschrijft, bevat onvermijdelijk onnauwkeurigheden in de beschrijving van de verstoringen en parameters van het besturingsobject. Het negeren van dergelijke "onzekerheid" leidt vaak tot fatale fouten in het functioneren van echte controlesystemen.

Anderzijds, de vereisten voor het besturingssysteem zijn vaak tegenstrijdig, wat natuurlijk leidt tot het formuleren van multicriteria-problemen, die, indien succesvol opgelost, elimineer in ieder geval die oplossingen die duidelijk "inefficiënt" zijn. Het is algemeen bekend dat multicriteria-controleproblemen erg moeilijk op te lossen zijn. Deze moeilijkheden krijgen een veel grotere schaal wanneer er een onzekerheid is bij het instellen van de parameters van een systeem en storingen; daarom, elke vooruitgang in de ontwikkeling van de theorie en methoden voor het oplossen van dergelijke problemen is zeer waardevol en relevant, zowel in de theoretische als in de toegepaste aspecten.

Volgens Dmitri Balandin, hoofdonderzoeker van het Laboratorium voor Informatiesystemen en Technische Diagnostiek, hoogleraar bij de vakgroep Differentiaalvergelijkingen, Wiskundige en numerieke analyse aan het UNN Institute of Information Technologies, Wiskunde en mechanica, het belangrijkste resultaat van het werk van zijn onderzoeksteam bestaat uit het ontwikkelen van nieuwe methoden voor het ontwerpen van dynamische objectcontrollers in de vorm van feedback. Deze methoden zijn ontwikkeld op basis van moderne verworvenheden van de regeltheorie, de theorie van lineaire matrixongelijkheden en de theorie van convexe optimalisatie.

"Het object van ons onderzoek is een systeem van gewone differentiaal- of differentievergelijkingen die de dynamiek van het bestudeerde object beschrijven. Er wordt aangenomen dat het dynamische object onderhevig is aan verschillende soorten externe effecten. In het bijzonder, ze kunnen de effecten omvatten die worden weergegeven door willekeurige vierkantsintegreerbare vectorfuncties van tijd, de effecten van willekeurige aard die worden beschreven als Gauss-witte ruis met een onbekende covariantiematrix, gepulseerde effecten met een onbekende impactintensiteit, harmonische effecten met een onbekende frequentie en amplitude, ' zegt Balandin.

Het doel van de besturing is om een ​​terugkoppeling te ontwerpen (van de gemeten toestand of van de gemeten output), die zorgt voor het doven van de verstoring die in het systeem ontstaat en door deze effecten wordt gegenereerd. De kwaliteitsindicatoren van voorbijgaande processen, verder aangeduid als storingsdovingsniveaus, worden bepaald voor elke klasse van externe effecten en zijn het maximum (voor alle effecten van een bepaalde klasse) van de verhouding van de norm van de systeemgestuurde output tot de norm van het externe effect. De natuurlijke neiging om de voorbijgaande processen te verbeteren, leidt tot optimale controleproblemen die bestaan ​​uit het minimaliseren van de storingsonderdrukkingsniveaus.

Enkele eenvoudige voorbeelden laten zien dat de controlewet die het niveau van uitdoving voor de ene klasse minimaliseert, verre van de beste is voor een andere klasse. Dus, bijvoorbeeld, de regeling die de beste bestrijding biedt van een storing die wordt veroorzaakt door periodieke effecten, verschilt aanzienlijk van de regelwetten die ervoor zorgen dat een storing die wordt veroorzaakt door schokeffecten wordt onderdrukt. Dus, het probleem doet zich voor om een ​​compromis te vinden in de synthese van de controlewetten voor het object dat onderhevig is aan effecten van verschillende klassen. Dit probleem is in wezen een controleprobleem met meerdere criteria.

In de optimalisatietheorie problemen met meerdere criteria, zelfs in een eindig-dimensionale formulering, zijn traditioneel zeer moeilijk op te lossen. Dit geldt des te meer voor multi-criteria optimale controleproblemen, en het instellen van multi-criteria controleproblemen met de rekening van onzekere factoren compliceert het probleem verder. In de afgelopen decennia, er is aanzienlijke vooruitgang geboekt bij het oplossen van problemen met optimale controle met criteria die duidelijke fysieke interpretaties hebben in de vorm van uitdovingsniveaus voor deterministische of stochastische stoornissen uit verschillende klassen. Echter, de behandeling van multicriteria-problemen met deze criteria levert nog steeds aanzienlijke problemen op. Deze moeilijkheden zijn te wijten in de eerste plaats, aan de complexiteit van het karakteriseren van de Pareto-verzameling en het vinden van de bijbehorende scalaire multi-objectieve functie die deze verzameling zou bepalen.

Het blijkt ook dat het probleem nog ingewikkelder is, aangezien elk van de criteria wordt gekenmerkt door zijn kwadratische Lyapunov-functie, en de scalaire optimalisatie van de multi-objectieve functie in de vorm van een standaard lineaire convolutie leidt in het algemeen tot een nauwelijks oplosbaar bilineair systeem van ongelijkheden met betrekking tot de matrices van deze Lyapunov-functies en de feedbackmatrix van de regulator. Om een ​​benaderende oplossing van een dergelijk systeem te construeren, als een regel, een aanvullende voorwaarde van de gelijkheid van alle Lyapunov-functies onderling wordt opgelegd, wat een zekere mate van conservatisme in het probleem introduceert. Tot nu, de belangrijkste vraag is onbeantwoord gebleven:in hoeverre verschillen de resulterende controlewetten van de Pareto-optimale?

In hun laatste publicaties, Wetenschappers van de Lobatsjevski-universiteit, in co-auteurschap met hun collega's van de Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, beantwoordde deze vraag en leverde numerieke schattingen van de afwijking van suboptimale oplossingen in multicriteria-problemen van Pareto-optimale, en geven ook nieuwe exacte Pareto optimale oplossingen voor sommige soorten criteria.

Een belangrijke toepassing die in de recente artikelen wordt overwogen, is het probleem van het regelen van de beweging van een rotor in actieve magnetische lagers (AMB). Het idee om het magnetische veld te controleren om ferromagnetische lichamen op te hangen, wordt al lang op grote schaal toegepast in moderne technische apparaten, vooral in rotorsystemen. Theoretische en toegepaste studies op dit gebied hebben een geschiedenis van meerdere decennia in Rusland en in het buitenland.

In Nizjni Novgorod, theoretisch en toegepast onderzoek op het gebied van rotorsystemen met actieve magnetische lagers wordt al vele jaren uitgevoerd aan het Research Institute of Applied Mathematics and Cybernetics van de Lobachevsky University en aan het Afrikantov OKBM.

Ondanks het grote aantal publicaties over actieve magnetische lagers, de problemen met de verbetering van het automatische controlesysteem voor AMB blijven in het middelpunt van de belangstelling staan ​​van onderzoekers en ingenieurs. De technische vereisten voor dergelijke systemen zijn extreem veeleisend, de belangrijkste daarvan zijn de hoge rotorsnelheid en de onbeheerde probleemloze werking van het systeem "rotor in actieve magnetische lagers" gedurende een vrij lange tijd.

Om ervoor te zorgen dat aan deze eisen wordt voldaan, het is noodzakelijk om de betrouwbaarheid van het systeem aanzienlijk te verbeteren, wat alleen mogelijk is door de besturingsalgoritmen in de AMB sterk te vereenvoudigen. wiskundig, dit probleem is geformuleerd als een multicriteria optimaal controleprobleem, waar de criteria verschillende, soms tegenstrijdige eisen aan de betrouwbare werking van het besturingsobject.

"Als resultaat van het toepassen van de bovenstaande theorie, het was mogelijk om nieuwe wetten te synthetiseren die de beweging van de rotor regelen in actieve magnetische lagers om een ​​betrouwbare werking van het systeem te garanderen wanneer rotorparameters en verstoringen die op de rotor inwerken niet precies bekend zijn, " concludeert professor Balandin.