Met de Super Bowl net om de hoek, hebben atleten en fans van de wereld hun focus stevig op het grote spel gevestigd. Maar voor _math_letes kan het grote spel me een klein probleem doen denken met betrekking tot de mogelijke scores in een voetbalwedstrijd. Met slechts beperkte opties voor het aantal punten dat u kunt scoren, kunnen sommige totalen eenvoudig niet worden bereikt, maar wat is het hoogste? Als je wilt weten wat munten, voetbal en McDonald's kipnuggets met elkaar verbindt, is dit een probleem voor jou.
The Super Bowl Math Problem

Het probleem betreft de mogelijke scores, de Los Angeles Rams of de New England Patriots zouden mogelijk op zondag kunnen bereiken zonder een veiligheid of een tweepuntsconversie. Met andere woorden, de toelaatbare manieren om hun scores te verhogen zijn 3-punts velddoelen en 7-punts touchdowns. Dus, zonder beveiligingen, kun je geen score van 2 punten behalen in een spel met een combinatie van 3s en 7s. Op dezelfde manier kun je ook geen score van 4 behalen, en ook geen 5.
De vraag is: wat is de hoogste score die niet kan worden behaald met slechts 3-punts? velddoelen en 7-punts touchdowns?

Natuurlijk zijn touchdowns zonder conversie 6 waard, maar aangezien je dat toch met twee velddoelen kunt bereiken, maakt het niet uit voor het probleem. Omdat we hier met wiskunde te maken hebben, hoef je je ook geen zorgen te maken over de tactiek van het specifieke team of zelfs over eventuele beperkingen op hun vermogen om punten te scoren.

Probeer dit zelf op te lossen voordat je verder gaat!
Een oplossing vinden (de trage manier)

Dit probleem heeft een aantal complexe wiskundige oplossingen (zie bronnen voor volledige details, maar het belangrijkste resultaat wordt hieronder geïntroduceerd), maar het is een goed voorbeeld van hoe dit niet is ' t nodig
om het antwoord te vinden.

Het enige dat je hoeft te doen om een brute-force oplossing te vinden, is om elk van de scores om de beurt te proberen. We weten dus dat je niet 1 of 2 kunt scoren, omdat ze minder dan 3 zijn. We hebben al vastgesteld dat 4 en 5 niet mogelijk zijn, maar 6 wel, met twee velddoelen. Kun je na 7 (wat mogelijk is) 8 scoren? Nee. Drie velddoelen geeft 9, en een velddoelpunt en een geconverteerde touchdown maakt 10. Maar je kunt er geen 11. krijgen

Vanaf dit punt laat een beetje werk zien dat:
\\ begin {uitgelijnd} 3 × 4 & \u003d 12 \\\\ 7 + (3 × 2) & \u003d 13 \\\\ 7 × 2 & \u003d 14 \\\\ 3 × 5 & \u003d 15 \\\\ 7 + (3 × 3) & \u003d 16 \\\\ (7 × 2) + 3 & \u003d 17 \\ end {alignment}

En in feite kunt u zo lang doorgaan als u wilt. Het antwoord lijkt 11. Maar is het?
De algebraïsche oplossing

Wiskundigen noemen deze problemen "Frobenius-muntproblemen". De oorspronkelijke vorm met betrekking tot munten, zoals: als u alleen munten had met waarde 4 cent en 11 cent (geen echte munten, maar nogmaals, dat zijn wiskundige problemen voor u), wat is de grootste hoeveelheid geld die u niet kon produceren.

De oplossing, in termen van algebra, is dat met één score p
punten en één score q
punten, de hoogste score die u niet kunt krijgen ( N
) wordt gegeven door:
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

Dus als je de waarden uit het Super Bowl-probleem invoert, krijg je:
\\ begin {uitgelijnd} N & \u003d 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ & \u003d 21 \\; - \\; 10 \\\\ & \u003d 11 \\ end {alignment}

Dat is het antwoord dat we op de langzame manier hebben gekregen. Dus wat als u alleen touchdowns zonder conversie (6 punten) en touchdowns met éénpuntconversie (7 punten) kon scoren? Kijk of u de formule kunt gebruiken voordat u verder leest.

In dit geval wordt de formule:
\\ begin {uitgelijnd} N & \u003d 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ & \u003d 42 \\; - \\; 13 \\\\ & \u003d 29 \\ end {alignment} The Chicken McNugget Probleem

Dus het spel is afgelopen en je wilt het winnende team belonen met een reis naar McDonald's. Maar ze verkopen alleen McNuggets in dozen van 9 of 20. Dus wat is het hoogste aantal nuggets dat u niet met deze (verouderde) boxnummers kunt kopen? Probeer de formule te gebruiken om het antwoord te vinden voordat u verder leest.

Sinds
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

En met p
\u003d 9 en q
\u003d 20:
\\ begin {uitgelijnd} N & \u003d 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ & \u003d 180 \\; - \\; 29 \\\\ & \u003d 151 \\ end {uitgelijnd}

Dus op voorwaarde dat u meer dan 151 nuggets kocht - het winnende team zal waarschijnlijk tamelijk veel honger hebben - u kunt met een aantal boxcombinaties een willekeurig aantal nuggets kopen.

U vraagt zich misschien af waarom we alleen twee-nummerversies van dit probleem hebben behandeld. Wat als we beveiligingen zouden inbouwen, of als McDonalds drie maten nugget boxes verkocht? Er is geen duidelijke formule
in dit geval, en hoewel de meeste versies ervan kunnen worden opgelost, zijn sommige aspecten van de vraag volledig onopgelost.

Dus misschien wanneer je de game bekijkt of stukjes kip eten, waarvan je kunt beweren dat je probeert een open probleem in de wiskunde op te lossen - het is het proberen waard om uit klusjes te komen!