Algebra omvat vaak het vereenvoudigen van uitdrukkingen, maar sommige uitdrukkingen zijn meer verwarrend om mee om te gaan dan andere. Complexe getallen hebben betrekking op de hoeveelheid die bekend staat als i
, een "denkbeeldig" getal met de eigenschap i
\u003d √ − 1. Als je gewoon een uitdrukking met een complex getal moet gebruiken, lijkt het misschien ontmoedigend, maar het is een vrij eenvoudig proces als je eenmaal de basisregels kent.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Vereenvoudig complexe getallen door de regels van algebra met complexe getallen te volgen.
Wat is een complex getal?

Complexe getallen worden gedefinieerd door de opname van de term i
, dat is de vierkantswortel van min één. In de wiskunde op basisniveau bestaan vierkantswortels met negatieve getallen niet echt, maar ze verschijnen soms in algebra-problemen. De algemene vorm voor een complex getal toont hun structuur:

z

\u003d a
+ bi

Waar z
het complexe getal aangeeft, a
staat voor elk nummer (het "echte" deel genoemd) en b
staat voor een ander nummer (het "denkbeeldige" genoemd) ”Deel), die beide positief of negatief kunnen zijn. Een voorbeeld van een complex getal is dus:

z

\u003d 2 −4_i_

Omdat alle vierkantswortels van negatieve getallen kunnen worden voorgesteld door veelvouden van < em> i
, dit is de vorm voor alle complexe getallen. Technisch gezien beschrijft een regulier nummer alleen een speciaal geval van een complex getal waarbij b
\u003d 0, dus alle getallen kunnen als complex worden beschouwd.
Basisregels voor algebra met complexe getallen

Naar optellen en aftrekken van complexe getallen, gewoon optellen of aftrekken van de reële en denkbeeldige delen afzonderlijk. Dus voor complexe getallen z
\u003d 2 - 4_i_ en w
\u003d 3 + 5_i_, is de som:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

Het aftrekken van de getallen werkt op dezelfde manier:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

Vermenigvuldiging is een andere eenvoudige bewerking met complexe getallen, omdat het werkt als gewone vermenigvuldiging, behalve dat u moet onthouden dat i
^{2 \u003d −1. Dus om 3_i_ × −4_i_ te berekenen:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Maar sinds i
^{2 \u003d −1, dan:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Met volledige complexe getallen (met z
\u003d 2 - 4_i_ en w
\u003d 3 + 5_i_ opnieuw), vermenigvuldig je ze op dezelfde manier als met gewone getallen zoals ( a
+ b
) ( c
+ d
), met behulp van de methode “first, inner, outer, last” (FOIL), om ( a
+ b
) ( c
+ te geven) d
) \u003d ac
+ bc
+ advertentie
+ bd
. Het enige dat u moet onthouden, is alle exemplaren van i
^{2 vereenvoudigen. Dus bijvoorbeeld:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Complexe getallen delen

Complexe getallen delen omvat het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van de breuk met het complexe conjugaat van de noemer. Het complexe vervoeging betekent alleen de versie van het complexe getal met het denkbeeldige deel omgekeerd in teken. Dus voor z
\u003d 2 - 4_i_, de complexe conjugaat z
\u003d 2 + 4_i_, en voor w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. Voor het probleem:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

De nodig conjugaat is w
*. Deel de teller en noemer door dit om te geven:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

En dan werk je door zoals in de vorige sectie. De teller geeft:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

En de noemer geeft:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Dit betekent:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Complexe getallen vereenvoudigen

Gebruik de bovenstaande regels indien nodig om complexe uitdrukkingen te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Dit kan worden vereenvoudigd door de optelregel in de teller te gebruiken, de vermenigvuldigingsregel in de noemer en vervolgens de deling te voltooien. Voor de teller:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

Voor de noemer:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4 - 2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

Als u deze weer terugplaatst, krijgt u:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

Beide delen vermenigvuldigen met de conjugaat van de noemer leidt tot:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18 - 34_i_) /40

\u003d (9 - 17_i_) /20

\u003d 9/20 −17_i_ /20

Dit betekent dus z
vereenvoudigt als volgt:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 9/20 −17_i_ /20