Als je een matrix in een wiskunde- of natuurkundeklasse krijgt aangeboden, wordt je vaak gevraagd om de eigenwaarden ervan te vinden. Als je niet zeker weet wat dat betekent of hoe je het moet doen, is de taak ontmoedigend en het brengt veel verwarrende terminologieën met zich mee die de zaken nog erger maken. Het proces van het berekenen van eigenwaarden is echter niet zo uitdagend als u vertrouwd bent met het oplossen van kwadratische (of polynomiale) vergelijkingen, mits u de basis van matrices, eigenwaarden en eigenvectoren leert.

Matrices, Eigenwaarden en Eigenvectoren: Wat betekenen ze?

Matrices zijn arrays van getallen waarbij A staat voor de naam van een generieke matrix, zoals deze:

(
1 3 )

A
= (4 2)

De getallen in elke positie variëren, en er kunnen zelfs algebraïsche uitdrukkingen op hun plaats zijn. Dit is een 2 × 2 matrix, maar ze zijn er in verschillende grootten en hebben niet altijd gelijke aantallen rijen en kolommen.

Omgaan met matrices is anders dan omgaan met gewone getallen, en er zijn specifieke regels voor het vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken van elkaar. De termen "eigenwaarde" en "eigenvector" worden gebruikt in matrixalgebra om te verwijzen naar twee karakteristieke grootheden met betrekking tot de matrix. Dit eigenwaardeprobleem helpt u te begrijpen wat de term betekent:

A
∙ v = λ ∙ v

A is een algemene matrix als voorheen, v is een vector en λ is een karakteristieke waarde. Kijk naar de vergelijking en merk op dat wanneer je de matrix vermenigvuldigt met de vector v, het effect is om dezelfde vector te reproduceren, net vermenigvuldigd met de waarde λ. Dit is ongebruikelijk gedrag en verdient de vector v en kwantiteit λ speciale namen: de eigenvector en eigenwaarde. Dit zijn karakteristieke waarden van de matrix omdat vermenigvuldiging van de matrix door de eigenvector de vector onveranderd laat van vermenigvuldiging met een factor van de eigenwaarde.

Eigenwaarden berekenen

Als u het eigenwaardeprobleem hebt voor de matrix in een bepaalde vorm is het vinden van de eigenwaarde eenvoudig (omdat het resultaat een vector is die hetzelfde is als de oorspronkelijke, behalve vermenigvuldigd met een constante factor - de eigenwaarde). Het antwoord wordt gevonden door de karakteristieke vergelijking van de matrix op te lossen:

det (A - λ I)) = 0

Waarin ik de identiteitsmatrix is, die leeg is afgezien van een reeks van enen die diagonaal door de matrix lopen. "Det" verwijst naar de determinant van de matrix, die voor een algemene matrix:

(ab)

A
= (cd)

Is gegeven door

det A = ad -bc

Dus de karakteristieke vergelijking betekent:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Laten we als voorbeeldmatrix A definiëren als:

(0 1)

A
= (-2 -3)

Dat betekent dus:

det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × -2) = 0

= -λ (-3 - λ) + 2

= λ < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0

De oplossingen voor λ zijn de eigenwaarden, en je lost dit op zoals elke kwadratische vergelijking. De oplossingen zijn λ = - 1 en λ = - 2.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

In eenvoudige gevallen zijn de eigenwaarden gemakkelijker te vinden. Als de elementen van de matrix bijvoorbeeld allemaal nul zijn behalve een rij op de leidende diagonaal (van linksboven naar rechtsonder), dan zijn de diagonale elementen de eigenwaarden. De bovenstaande methode werkt echter altijd.

Eigenvectoren vinden

Het vinden van de eigenvectoren is een vergelijkbaar proces. Gebruik de vergelijking:

(A - λ) ∙ v = 0

met elk van de eigenwaarden die je achtereenvolgens hebt gevonden. Dit betekent:

(a - λ b) (v _{1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)}

(A - λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v _{2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)}

Je kunt dit oplossen door elke rij op zijn beurt overwegen. Je hebt alleen de verhouding van v
_{1 tot v
2 nodig, want er zullen oneindig veel mogelijke oplossingen zijn voor v
1 en v
2.}