Stel je voor dat een luidspreker in een kamer met een paar microfoons wordt geplaatst. Wanneer de luidspreker een geluidsimpuls afgeeft, de microfoons ontvangen verschillende vertraagde reacties als het geluid weerkaatst vanaf elke muur in de kamer. Deze eerste-orde-echo's - gehoord nadat geluidsimpulsen slechts één keer op een muur zijn gestuiterd - kaatsen vervolgens terug van elke muur om tweede-orde-echo's te creëren, enzovoort.

In een papieren publicatie volgende week in de SIAM Journal over toegepaste algebra en geometrie , Mireille Boutin en Gregor Kemper proberen de vorm van een kamer te reconstrueren met behulp van eerste-orde-echo's die worden ontvangen door vier microfoons die aan een drone zijn bevestigd. De microfoons zijn uitgelijnd in een starre configuratie en liggen niet in een gemeenschappelijk vlak. Door microfoons op een drone te plaatsen - in plaats van onafhankelijk door de kamer - worden nieuwe toepassingsgebieden onthuld.

"De microfoons luisteren naar een korte geluidsimpuls die weerkaatst op eindige vlakke oppervlakken - of de 'muren, '"Boutin, een professor in de wiskunde en elektrotechniek en computertechniek aan de Purdue University, verklaart. "Als een microfoon een geluid hoort dat op een muur kaatst, het tijdsverschil tussen het uitzenden en ontvangen van het geluid wordt geregistreerd. Dit tijdsverschil komt overeen met de afstand die het geluid in die tijd heeft afgelegd."

De tijdvertraging van elke eerste-orde-echo geeft de auteurs een reeks afstanden van elke microfoon om beelden van de bron te spiegelen die over elke muur worden gereflecteerd. Het identificeren van de corresponderende muur waaruit elke echo afkomstig is, is onmogelijk; een microfoon ontvangt mogelijk niet eens een echo van een bepaalde muur op basis van zijn configuratie en kamergeometrie.

De auteurs gebruiken een bekende modelleringstechniek om zich te concentreren op echo's van de eerste orde. Deze methode interpreteert teruggekaatst geluid als afkomstig van een virtuele bron achter de muur in plaats van van de bron, waardoor een virtueel bronpunt elke muur kan vertegenwoordigen.

"De tijdsverschillen tussen uitzending en ontvangst geven de afstand tussen de microfoon en het virtuele bronpunt, ", zegt Boutin. "Als we de afstand weten van een van deze virtuele bronpunten tot elk van de vier microfoons, we kunnen de coördinaten van de virtuele bron achterhalen en vervolgens vier punten op de muur reconstrueren - en dus het vlak dat de muur bevat."

Echter, de microfoons kunnen de afstand die overeenkomt met elk virtueel bronpunt niet bepalen, d.w.z., elke muur. In antwoord, Boutin en haar collega's ontwierpen een methode om de afstanden te labelen die correleren met elke muur, een proces dat ze 'echo-sortering' noemen.

De echosorteertechniek gebruikt een polynoom als screeningstest en ontdekt in vier variabelen of de vier afstanden op de nulverzameling van een bepaalde polynoom liggen. Een waarde die niet nul is, laat zien dat de afstanden niet tegen dezelfde muur kunnen stuiteren. Alternatief, als de polynoom gelijk is aan nul, de afstanden zouden mogelijk van dezelfde muur kunnen komen.

Deze studie toont aan dat het reconstrueren van een kamer op basis van eerste-orde-echo's verkregen door vier microfoons een theoretisch probleem is dat goed gesteld is onder generieke omstandigheden. "Dit is een eerste stap in de richting van het oplossen van het bijbehorende echte probleem, " merkt Boutin op. "Als het probleem niet goed gesteld was, dan zou voor een praktische oplossing meer informatie nodig zijn. Maar aangezien we weten dat het goed geposeerd is, we kunnen doorgaan naar de volgende stap:een manier vinden om de kamer te reconstrueren wanneer de echo-metingen luidruchtig zijn."

Deze taak is bepaald niet eenvoudig. Bepaalde plaatsingen van drones geven aanleiding tot problemen die niet goed zijn gesteld, wat suggereert dat de luidruchtige versie van het probleem vatbaar is voor slechte conditionering. Er is meer werk nodig om het probleem van het reconstrueren van een kamer uit echo's goed op te lossen.

Hoewel het wiskundige raamwerk eenvoudigweg een rigide configuratie van niet-coplanaire microfoons vereist, het onderzoek kent nog tal van andere mogelijke toepassingen. "Deze microfoons kunnen in een kamer of op elk voertuig worden geplaatst, zoals een auto, een onderwatervoertuig, of de helm van een persoon, " Gregor Kemper, een professor in de afdeling Wiskunde aan de Technische Universität München, verklaart. Het tijdschriftartikel van de auteurs geeft voorbeelden met stationaire, geluidsbronnen binnenshuis en bronnen die op voertuigen zijn geplaatst en die door beweging kunnen worden gedraaid en verplaatst; deze laatste bronnen presenteren aanzienlijk meer gecompliceerde situaties.

"Een rijdende auto verschilt op een interessante manier van een drone of een onderwatervoertuig, Kemper voegt eraan toe. "De posities hebben slechts drie vrijheidsgraden - x-assen, y-assen, en oriëntatie, terwijl een drone zes vrijheidsgraden heeft. Ons werk geeft aan dat deze zes vrijheidsgraden voldoende zijn om bijna altijd de muren te detecteren, maar dit betekent niet noodzakelijk dat drie graden ook voldoende zijn. Het geval van een auto of een voertuig op het oppervlak is het onderwerp van voortdurend onderzoek door onze groep."

Het realiseren van computationele economie voor dergelijke problemen is een belangrijk doel voor Boutin en Kemper. Hun methode vereist een computeralgebrasysteem om symbolische berekeningen uit te voeren, die rekenkundig complexer kan worden voor andere variaties van het probleem, waardoor de uitbreiding tot soortgelijke problemen wordt beperkt. "Het zou wenselijk zijn om een ​​minder rekenkundige techniek te vinden om dezelfde resultaten te bewijzen, vooral als deze methode van toepassing bleek te zijn op andere gevallen, " zegt Kemper. "Ons wiskundig raamwerk is geschikt voor voertuigen op het oppervlak, maar de eigenlijke berekeningen die nodig zijn voor het bewijs zijn een uitdaging. We hopen dat andere teams dit probleem zullen onderzoeken."