Soms is het nodig om een ​​niet-nulvector te vinden die, vermenigvuldigd met een vierkante matrix, ons een veelvoud van de vector teruggeeft. Deze niet-nulvector wordt een "eigenvector" genoemd. Eigenvectoren zijn niet alleen van belang voor wiskundigen, maar ook voor anderen in beroepen zoals natuurkunde en techniek. Om ze te berekenen, moet je matrixalgebra en determinanten begrijpen.

Leer en begrijp de definitie van een "eigenvector". Het wordt gevonden voor een n x n vierkante matrix A en ook een scalaire eigenwaarde genaamd "lambda." Lambda wordt vertegenwoordigd door de Griekse letter, maar hier zullen we het afkorten naar L. Als er een niet-nulvector x is waar Ax = Lx, wordt deze vector x een "eigenwaarde van A" genoemd.

Vind de eigenwaarden van de matrix door gebruik te maken van de karakteristieke vergelijking det (A - LI) = 0. "Det" staat voor de determinant, en "I" is de identiteitsmatrix.

Bereken de eigenvector voor elke eigenwaarde door een eigenspace E (L), wat de nulruimte is van de karakteristieke vergelijking. De niet-nulvectoren van E (L) zijn de eigenvectoren van A. Deze worden gevonden door de eigenvectoren terug in de karakteristieke matrix te plaatsen en een basis te vinden voor A - LI = 0.

Oefenstappen 3 en 4 door de matrix aan de linkerkant bestuderen. Getoond is een vierkante 2 x 2 matrix.

Bereken de eigenwaarden met behulp van de karakteristieke vergelijking. Det (A - LI) is (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, wat de karakteristieke polynoom is. Dit algebraïsch oplossen geeft ons L1 = 4 en L2 = 2, wat de eigenwaarden van onze matrix zijn.

Zoek de eigenvector voor L = 4 door de nulruimte te berekenen. Doe dit door L1 = 4 in de karakteristieke matrix te plaatsen en de basis voor A - 4I = 0 te vinden. Hierop volgend vinden we x - y = 0, of x = y. Dit heeft slechts één onafhankelijke oplossing omdat ze gelijk zijn, zoals x = y = 1. Daarom is v1 = (1,1) een eigenvector die de eigen ruimte van L1 = 4 omspant.

Herhaal stap 6 tot zoek de eigenvector voor L2 = 2. We vinden x + y = 0, of x = --y. Dit heeft ook één onafhankelijke oplossing, zeg x = - 1 en y = 1. Daarom is v2 = (-1,1) een eigenvector die de eigen ruimte van L2 = 2 overspant.