In de wiskunde is een functie een proces dat u toepast op een onafhankelijke variabele x om de afhankelijke variabele y te krijgen. Als je het ziet als "van je x af gaan" om bij je y te komen, gaat een omgekeerde functie het tegenovergestelde, van het resultaat terug naar de oorspronkelijke waarde. In zekere zin is een inverse functie het tegenovergestelde van het origineel, waardoor het proces wordt 'ongedaan gemaakt'.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een inverse van een wiskundige functie keert de rollen van y en x in de oorspronkelijke functie om.

Functies en inversen

Wiskundigen definiëren een functie als een proces of regel die de geordende paren van een set genereert. U kunt het eerste lid van het paar zien als de x van de functie en het tweede lid als de y. In een echte functie heeft de eerste waarde slechts één oplossingswaarde die erbij hoort. Dus elke x-waarde heeft slechts één overeenkomstige y-waarde. Dus de vergelijking voor de horizontale lijn, y = 1 is een functie, maar de verticale lijn, x = 1 is dat niet.

Teken een grafiek

De grafiek van een functie en zijn inverse zijn reflecties van elkaar, met een lijn die y = x weergeeft en die als de "spiegel" fungeert. Om een ​​voorbeeld te nemen, begint de grafiek van de natuurlijke logaritmefunctie, ln (x), bij negatieve oneindigheid op de y-as en net rechts van nul op de x-as. Vanaf daar steekt het de x-as op het punt (1,0) over en heeft het een enigszins opwaarts stijgende curve over de x-as. Zijn inverse, de natuurlijke exponentfunctie exp (x), heeft de x-as als asymptoot, beginnend bij negatieve oneindigheid op de x-as, net erboven. Het kruist de y-as bij (0,1) en buigt sterk omhoog. Teken de twee functies in een grafiek en teken de lijn y = x, en je ziet dat exp (x) en ln (x) elkaar spiegelen.

Sine en Cosine

Hoewel de sinus- en cosinusfuncties gerelateerd zijn, is de ene niet de inverse van de andere. De sinus- en cosinusfuncties produceren vergelijkbare grafische resultaten, hoewel cosinus sinus met 90 graden "leidt". Ook is de cosinus de afgeleide van de sinus. De inverse van de sinusfunctie is echter de arcsine en de inverse van de cosinus is de arccosine.

Een inverse functie zoeken

Het is relatief eenvoudig om de inverse van vele functies te vinden: Wissel de "y" en "x" in de vergelijking en los op voor y. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking y = 2x + 4. Wisselen y voor x geeft x = 2y + 4. Trek 4 van beide kanten af ​​om x - 4 = 2y te krijgen, en verdeel dan beide zijden met 2 om te krijgen (x ÷ 2) - 2 = y, de inverse functie.

Inverse niet-functies

Niet alle inversies van functies zijn ook functies. Herinner dat de definitie van functies zegt dat elke x slechts één y-waarde heeft. Hoewel arcsine het omgekeerde is van de sinusfunctie, is arcsine technisch gezien geen functie, omdat x-waarden oneindig veel overeenkomende y-waarden hebben. Het is ook waar met y = x ^{2 en y = √x: de eerste is een functie en de tweede is zijn inverse, maar de vierkantswortel geeft twee overeenkomstige y-waarden, positief en negatief, waardoor het geen echte functie is .}