In algebra zijn getallenreeksen waardevol om te bestuderen wat er gebeurt als iets steeds groter of kleiner wordt. Een rekenkundige reeks wordt gedefinieerd door het gemeenschappelijke verschil, dat het verschil is tussen het ene getal en het volgende in de reeks. Voor rekenkundige reeksen is dit verschil een constante waarde en kan het positief of negatief zijn. Als een resultaat wordt een rekenkundige reeks steeds groter of kleiner met een vast bedrag telkens wanneer een nieuw nummer wordt toegevoegd aan de lijst die de reeks vormt.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een rekenkundige reeks is een lijst met getallen waarin opeenvolgende termen met een constante hoeveelheid verschillen, het gemeenschappelijke verschil. Wanneer het gemeenschappelijke verschil positief is, blijft de reeks toenemen met een vaste hoeveelheid, terwijl als deze negatief is, de reeks afneemt. Andere veel voorkomende sequenties zijn de geometrische volgorde, waarin termen verschillen door een gemeenschappelijke factor, en de Fibonacci-reeks, waarin elk getal de som is van de twee vorige getallen.

Hoe een aritmetische reeks werkt

Een rekenkundige reeks wordt gedefinieerd door een startnummer, een gemeenschappelijk verschil en het aantal termen in de reeks. Bijvoorbeeld, een rekenkundige reeks beginnend met 12, een gemeenschappelijk verschil van 3 en vijf termen is 12, 15, 18, 21, 24. Een voorbeeld van een afnemende reeks is er een beginnend met het getal 3, een gemeenschappelijk verschil van -2 en zes termen. Deze reeks is 3, 1, -1, -3, -5, -7.

Rekenkundige reeksen kunnen ook een oneindig aantal termen bevatten. Bijvoorbeeld, de eerste bovenstaande reeks met een oneindig aantal termen zou 12, 15, 18, ... zijn en die reeks blijft oneindig.

Rekenkundig gemiddelde

Een rekenkundige reeks heeft een overeenkomstige reeks die alle termen van de reeks toevoegt. Wanneer de voorwaarden worden toegevoegd en de som wordt gedeeld door het aantal termen, is het resultaat het rekenkundig gemiddelde of gemiddelde. De formule voor het rekenkundig gemiddelde is (som van n termen) ÷ n.

Een snelle manier om het gemiddelde van een rekenkundige reeks te berekenen is om de waarneming te gebruiken dat, wanneer de eerste en laatste voorwaarden zijn toegevoegd, de som is hetzelfde als wanneer de tweede en volgende laatste termen worden toegevoegd of de derde en derde tot laatste termen. Als gevolg hiervan is de som van de reeks de som van de eerste en laatste termijnen maal de helft van het aantal termen. Om het gemiddelde te krijgen, wordt de som gedeeld door het aantal termen, dus het gemiddelde van een rekenkundige reeks is de helft van de som van de eerste en de laatste term. Voor n termen a _{1 tot en met een n is de overeenkomende formule voor het gemiddelde m m = (a 1 + a n) ÷ 2.}

Oneindige rekenkundige reeksen hebben geen laatste term en daarom is hun gemiddelde ongedefinieerd. In plaats daarvan kan een gemiddelde voor een gedeeltelijke som worden gevonden door de som te beperken tot een gedefinieerd aantal termen. In dat geval kunnen de gedeeltelijke som en het gemiddelde op dezelfde manier worden gevonden als voor een niet-oneindige reeks.

Andere soorten reeksen

Sequenties van getallen zijn vaak gebaseerd op observaties van experimenten of metingen van natuurlijke verschijnselen. Dergelijke reeksen kunnen willekeurige getallen zijn, maar vaak blijken reeksen rekenkundige of andere geordende lijsten met getallen te zijn.

Geometrische reeksen verschillen bijvoorbeeld van aritmetische reeksen omdat ze een gemeenschappelijke factor hebben in plaats van een gemeenschappelijk verschil. In plaats van een getal toe te voegen of af te trekken voor elke nieuwe term, wordt een getal vermenigvuldigd of gedeeld telkens wanneer een nieuwe term wordt toegevoegd. Een reeks die 10, 12, 14, ... is als een rekenkundige reeks met een gemeenschappelijk verschil van 2 wordt 10, 20, 40, ... als een geometrische reeks met een gemeenschappelijke factor van 2.

Andere sequenties volgen geheel andere regels. De Fibonacci-reekstermen worden bijvoorbeeld gevormd door de vorige twee getallen toe te voegen. De volgorde is 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... De voorwaarden moeten afzonderlijk worden toegevoegd om een ​​gedeeltelijke som te krijgen, omdat de snelle methode voor het toevoegen van de eerste en laatste voorwaarden niet werkt voor deze reeks. >

Rekenkundige sequenties zijn eenvoudig maar ze hebben toepassingen in het echte leven. Als het startpunt bekend is en het gemeenschappelijke verschil kan worden gevonden, kan de waarde van de reeks op een specifiek punt in de toekomst worden berekend en kan ook de gemiddelde waarde worden bepaald.