Er is een addertje onder het gras: wortels van een polynoom kunnen reëel of denkbeeldig zijn. "Echte" wortels zijn leden van de set die bekend staat als echte getallen, die op dit punt in je wiskundige carrière elk getal is waarmee je gewend bent. Denkbeeldige getallen beheersen is een heel ander onderwerp, dus onthoud voor nu gewoon drie dingen:

De meest veelzijdige manier om wortels te vinden is om zoveel mogelijk rekening te houden met uw polynoom en vervolgens elke term gelijk te stellen aan nul. Dit is veel logischer als je een paar voorbeelden hebt gevolgd. Overweeg de eenvoudige veelterm x
^{2 - 4_x: _}

1. Factor the Polynomial
   
   

   Een kort onderzoek toont aan dat u x
   uit beide termen van de polynoom, die u het volgende geeft:
   

   x
   ( x
   - 4)
   

2. Zoek de nullen
   
   

   Stel elke term in op nul. Dat betekent het oplossen van twee vergelijkingen:
   

   x
   \u003d 0 is de eerste term ingesteld op nul, en
   

   x
   - 4 \u003d 0 is de tweede termijn ingesteld op nul.
   

   U hebt al de oplossing voor de eerste termijn. Als x
   \u003d 0, dan is de gehele uitdrukking gelijk aan nul. Dus x
   \u003d 0 is een van de wortels of nullen van de polynoom.
   

   Overweeg nu de tweede term en los het op voor x
   . Als je 4 aan beide kanten toevoegt, heb je:
   

   x
   - 4 + 4 \u003d 0 + 4, wat het eenvoudiger maakt om:
   

   x
   \u003d 4. Dus als x
   \u003d 4 dan is de tweede factor gelijk aan nul, wat betekent dat de gehele polynoom ook gelijk is aan nul.
   

3. Lijst uw antwoorden
   
   

   Omdat het oorspronkelijke polynoom van de tweede graad was (de grootste exponent was twee), weet je dat er slechts twee mogelijke wortels zijn voor dit polynoom. Je hebt ze al allebei gevonden, dus je hoeft ze alleen maar te vermelden:
   

   x
   \u003d 0, x
   \u003d 4
   
   Zoeken Roots door Factoring: Voorbeeld 2
   

   Hier is nog een voorbeeld van hoe je Roots kunt vinden door factoring, met behulp van een aantal mooie algebra onderweg. Beschouw het polynoom x
   ^{4 - 16. Een snelle blik op de exponenten laat zien dat er vier wortels voor dit polynoom moeten zijn; nu is het tijd om ze te vinden.}
   

   1. Factor the Polynomial
      
      

      Heb je gemerkt dat deze polynoom herschreven kan worden als het verschil van vierkanten? Dus in plaats van x
      ^{4 - 16, hebt u:}
      

      ( x
      ^{2) 2 - 4 2}
      

      Welke, met behulp van de formule voor het verschil van vierkanten, factoren als volgt:
      

      ( x
      ^{2 - 4) ( x
      2 + 4)}
      

      De eerste term is opnieuw een verschil van vierkanten. Dus hoewel u de term aan de rechterkant niet verder kunt factoreren, kunt u de term aan de linkerkant nog een stap meer factor:
      

      ( x
      - 2) ( x
      + 2) ( x
      ^{2 + 4)}
      

   2. Zoek de nullen
      
      

      Nu is het tijd om de nullen te vinden. Het wordt snel duidelijk dat als x
      \u003d 2, de eerste factor gelijk is aan nul, en dus de hele uitdrukking gelijk zal zijn aan nul.
      

      Op dezelfde manier als x
      \u003d - 2, de tweede factor is gelijk aan nul en dus ook de hele uitdrukking.
      

      Dus x
      \u003d 2 en x
      \u003d -2 zijn beide nullen of wortels, van deze polynoom.
      

      Maar hoe zit het met die laatste term? Omdat het een "2" exponent heeft, zou het twee wortels moeten hebben. Maar je kunt deze uitdrukking niet factoreren met de echte getallen die je gewend bent. Je zou een zeer geavanceerd wiskundig concept moeten gebruiken, denkbeeldige getallen genoemd, of, als je dat wilt, complexe getallen. Dat is ver buiten het bereik van je huidige wiskundepraktijk, dus voorlopig is het genoeg om op te merken dat je twee echte wortels (2 en -2) en twee denkbeeldige wortels hebt die je ongedefinieerd zult laten.
      
      Find Roots by Graphing
      

      Je kunt wortels ook vinden, of op zijn minst schatten door middel van grafieken. Elke root vertegenwoordigt een plek waar de grafiek van de functie de x
      -as kruist. Dus als u de lijn uitzet en vervolgens de x
      -coördinaten noteert waar de lijn de x
      -as kruist, kunt u de geschatte x
      -waarden van die punten invoegen in uw vergelijking en controleer of u ze juist hebt gekregen.
      

      Beschouw het eerste voorbeeld dat u hebt gewerkt, voor de polynoom x
      ^{2 - 4_x_. Als je het voorzichtig tekent, zie je dat de lijn de x
      -as kruist op x
      \u003d 0 en x
      \u003d 4. Als je elk van deze waarden in de oorspronkelijke vergelijking, krijg je:}
      

      0 ^{2 - 4 (0) \u003d 0, dus x
      \u003d 0 was een geldige nul of root voor deze polynoom .}
      

      4 ^{2 - 4 (4) \u003d 0, dus x
      \u003d 4 is ook een geldige nul of root voor deze polynoom. En omdat de polynoom van graad 2 was, weet je dat je kunt stoppen met zoeken nadat je twee wortels hebt gevonden.}