Trigonometrie kan als een vrij abstract onderwerp aanvoelen. Onregelmatige termen als "sin" en "cos" lijken gewoon niet overeen te komen met iets in de realiteit, en het is moeilijk om ze als concepten te begrijpen. De eenheidscirkel helpt hierbij substantieel en biedt een eenvoudige uitleg van wat de getallen zijn die je krijgt als je de sinus, cosinus of tangens van een hoek neemt. Voor studenten van de wetenschap of wiskunde kan het begrijpen van de eenheidscirkel je begrip van trigonometrie en het gebruik van de functies echt versterken.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een eenheidscirkel heeft een straal van één. Stel je een xy
coördinatensysteem voor dat begint in het midden van deze cirkel. De punthoeken worden gemeten vanaf waar x
\u003d 1 en y
\u003d 0, aan de rechterkant van de cirkel. Hoeken nemen toe naarmate je tegen de klok in beweegt.

Gebruik van dit framework, en y
voor de y
-coördinaat en x
voor de x
-coördinaat van het punt op de cirkel:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

En daarom:

tan θ
\u003d y
/ x

Wat is de eenheidscirkel?

Een "eenheidscirkel" heeft een straal van 1. Met andere woorden, de afstand van het middelpunt van de cirkel tot een deel van de rand is altijd 1. De meeteenheid doet niet maakt niet uit, want het belangrijkste van de eenheidscirkel is dat het veel vergelijkingen en berekeningen veel eenvoudiger maakt.

Het dient ook als een handige basis voor het bekijken van de definities van hoeken. Stel je voor dat het middelpunt van de cirkel zich in het midden van een coördinatensysteem bevindt met een x
-as horizontaal en een y
-as verticaal. De cirkel kruist de x
-as op x
\u003d 1, y
\u003d 0. Wetenschappers en wiskundigen definiëren de hoek vanaf dat punt in tegenwijzerzin . Het punt x
\u003d 1, y
\u003d 0 op de cirkel staat dus onder een hoek van 0 °.
De definities van Sin and Cos met de eenheidscirkel

De gewone definities van zonde, cos en tan die aan studenten worden gegeven, hebben betrekking op driehoeken. Ze vermelden:

sin θ
\u003d tegengestelde /hypotenusa

cos θ
\u003d aangrenzende /hypotenusa

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Het "tegengestelde" verwijst naar de lengte van de zijde van de driehoek tegenover de hoek, "aangrenzende" verwijst naar de lengte van de zijde naast de hoek en "hypotenusa" verwijst naar de lengte van de diagonale zijde van de driehoek.

Stel u voor dat u een driehoek maakt zodat de hypotenusa altijd de straal van de eenheidscirkel was, met één hoek aan de rand van de cirkel en één in het midden. Dit betekent dat hypotenusa \u003d 1 in de bovenstaande vergelijkingen, dus de eerste twee worden:

sin θ
\u003d tegenover /1 \u003d tegenover

cos θ
\u003d aangrenzend /1 \u003d aangrenzend

Als u de betreffende hoek in het midden van de cirkel maakt, is het tegenovergestelde gewoon de y
-coördinaat en de aangrenzende is gewoon de < em> x
-coördinaat van het punt op de cirkel dat de driehoek raakt. Met andere woorden, sin retourneert de y
-coördinaat op de eenheidscirkel (met coördinaten die in het midden beginnen) voor een gegeven hoek en cos geeft de x
-coördinaat terug. Dit is de reden waarom cos (0) \u003d 1 en sin (0) \u003d 0, want op dit punt zijn dat de coördinaten. Evenzo, cos (90) \u003d 0 en sin (90) \u003d 1, omdat dit het punt is met x
\u003d 0 en y
\u003d 1. In vergelijkingsvorm:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Negatieve hoeken zijn ook gemakkelijk te begrijpen op basis hiervan. De negatieve hoeken (met de klok mee gemeten vanaf het startpunt) hebben dezelfde x
-coördinaat als de bijbehorende positieve hoek, dus:

cos - θ

\u003d cos θ

Echter, de y
-coördinaten schakelen, wat betekent dat

sin - θ

\u003d −sin θ

De definitie van tan met de eenheidscirkel

De hierboven gegeven definitie van tan is:

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Maar met de eenheidscirkeldefinities van sin en cos, kunt u zien dat dit gelijk is aan:

tan θ
\u003d tegenover /aangrenzend

Of denkend in termen van coördinaten:

tan θ
\u003d y
/ x

Dit verklaart waarom tan niet is gedefinieerd voor 90 ° of −270 ° en 270 ° of −90 ° (waar x
\u003d 0), omdat u kunt niet door nul delen.
Grafieken Trigonometrische functies

Het plotten van sin of cos wordt gemakkelijker als u denkt aan de eenheidscirkel. De x
-coördinaat varieert soepel als u zich rond de cirkel verplaatst, beginnend bij 1 en afnemend tot een minimum van -1 bij 180 ° en vervolgens op dezelfde manier stijgend. De sin-functie doet hetzelfde, maar neemt eerst toe tot een maximale waarde van 1 bij 90 °, voordat hetzelfde patroon wordt gevolgd. Van de twee functies wordt gezegd dat ze 90 ° uit “fase” met elkaar zijn.

Grafische tan vereist dat y
wordt gedeeld door x
, en dus is het ingewikkelder om grafiek en heeft ook punten waar het niet is gedefinieerd.