Wiskundige functies zijn krachtige hulpmiddelen voor bedrijven, ingenieurswetenschappen en de wetenschap omdat ze kunnen fungeren als miniatuurmodellen van fenomenen uit de echte wereld. Om functies en relaties te begrijpen, moet je een beetje graven in concepten zoals sets, geordende paren en relaties. Een functie is een speciale soort relatie die slechts één y-waarde heeft voor een gegeven x-waarde. Er bestaan ​​andere soorten relaties die op functies lijken, maar die niet aan de strikte definitie van één voldoen.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een relatie is een set van nummers georganiseerd in paren. Een functie is een speciale soort relatie die slechts één y-waarde heeft voor een gegeven x-waarde.

Sets, geordende paren en relaties

Om relaties en functies te beschrijven, helpt het om eerst sets te bespreken en geordende paren. Kort gezegd is een verzameling getallen een verzameling van deze, meestal opgenomen in accolades, zoals {15,1, 2/3} of {0, .22}. Typisch definieert u een set met een regel, zoals alle even getallen tussen 2 en 10, inclusief: {2,4,6,8,10}.

Een set kan uit een willekeurig aantal elementen bestaan, of helemaal niets, dat wil zeggen, de nulreeks {}. Een geordend paar is een groep van twee cijfers tussen haakjes, zoals (0,1) en (45, -2). Gemakshalve kunt u de eerste waarde in een geordend paar de x-waarde noemen en de tweede de y-waarde. Een relatie rangschikt geordende paren in een set. De set {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} is bijvoorbeeld een relatie. U kunt de x- en y-waarden van een relatie in een grafiek plotten met de x- en y-assen.

Betrekkingen en functies

Een functie is een relatie waarin elke gegeven x-waarde slechts één heeft bijbehorende y-waarde. Je zou kunnen denken dat elke x met geordende paren sowieso maar één y-waarde heeft. In het hierboven gegeven voorbeeld van een relatie moet echter worden opgemerkt dat de x-waarden 1 en 2 elk twee overeenkomstige y-waarden hebben, respectievelijk 0 en 5, en 10 en 15. Deze relatie is geen functie. De regel geeft de functierelatie een definitiviteit die anders niet bestaat, in termen van x-waarden. Je zou kunnen vragen, wanneer x 1 is, wat is de y-waarde? Voor de bovenstaande relatie heeft de vraag geen definitief antwoord; het kan 0, 5 of beide zijn.

Bekijk nu een voorbeeld van een relatie die een echte functie is: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. De x-waarden worden nergens herhaald. Als een ander voorbeeld, kijk naar {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Sommige y-waarden worden herhaald, maar dit is niet in strijd met de regel. Je kunt nog steeds zeggen dat wanneer de waarde van x 0 is, y zeker 5 is.

Grafische functies: Verticale-lijntest

Je kunt zien of een relatie een functie is door de getallen in te zetten op een grafiek en het toepassen van de verticale lijntest. Als geen verticale lijn die door de grafiek loopt, deze op meer dan één punt snijdt, is de relatie een functie.

Functies als vergelijkingen

Een set geordende paren wegschrijven als een functie zorgt voor een eenvoudig voorbeeld, maar wordt snel vervelend als je meer dan een paar nummers hebt. Om dit probleem aan te pakken, schrijven wiskundigen functies in termen van vergelijkingen, zoals y = x ^ 2 - 2x + 3. Met behulp van deze compacte vergelijking kunt u zoveel geordende paren genereren als u wilt: steek verschillende waarden in voor x, doe de wiskunde, en uit je y-waarden.

Gebruik in de echte wereld van functies

Veel functies dienen als wiskundige modellen, waardoor mensen details van verschijnselen kunnen begrijpen die anders mysterieus zouden blijven. Om een ​​eenvoudig voorbeeld te geven, is de afstandsvergelijking voor een vallend voorwerp d = .5 x g x t ^ 2, waarbij t de tijd in seconden is en g de versnelling is vanwege de zwaartekracht. Plug 9.8 in voor aardzwaartekracht in meters per seconde in het kwadraat, en je kunt de afstand vinden die een object op een tijdstip heeft laten vallen. Merk op dat modellen, voor al hun bruikbaarheid, beperkingen hebben. De voorbeeldvergelijking werkt goed voor het laten vallen van een stalen bal, maar geen veertje omdat de lucht de veer vertraagt.