De meeste mensen herinneren zich de stelling van Pythagoras uit de beginnergeometrie - het is een klassieker. Het is een
^{2 + b
2 = c
2, waar een pagina, b
en c
zijn de zijden van een rechthoekige driehoek ( c
is de hypotenusa). Nou, deze stelling kan ook worden herschreven voor trigonometrie!}

TL; DR (te lang; heeft niet gelezen)

TL; DR (te lang; heeft niet gelezen)

Pythagorische identiteiten zijn vergelijkingen die de stelling van Pythagoras schrijven in termen van de trig-functies.

De belangrijkste identiteiten van Pythagorean zijn:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) = sec 2 ( θ
)}

1 + cot ^{2 ( θ
) = csc 2 ( θ
)}

The Pythagorean identiteiten zijn voorbeelden van trigonometrische identiteiten: gelijkheden (vergelijkingen) die trigonometrische functies gebruiken.

Waarom is het belangrijk?

De Pythagorean-identiteiten kunnen erg handig zijn om ingewikkelde trig-statements en vergelijkingen te vereenvoudigen. Leer ze nu kennen, en je kunt jezelf een hoop tijd besparen!

Bewijs dat de definities van de trig-functies gebruikt

Deze identiteiten zijn vrij eenvoudig te bewijzen als je nadenkt over de definities van de trig-functies. Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1.}

Onthoud dat de definitie van sinus is tegenover /hypotenusa, en die cosinus is naast /hypotenusa.

So sin ^{2 = tegengesteld 2 /hypotenusa 2}

En cos ^{2 = aangrenzend 2 /hypotenusa 2}

Je kunt deze twee eenvoudig aan elkaar toevoegen omdat de noemers hetzelfde zijn.

sin ^{2 + cos 2 = (tegenover 2 + aangrenzend 2) /hypotenusa 2}

Kijk nu nog eens bij de stelling van Pythagoras. Er staat dat een
<sup>2 + b
2 = c
2. Houd er rekening mee dat een
en b en staan ​​voor de tegenoverliggende en aangrenzende zijden, en c staat voor de hypotenusa.</sup>

Je kunt de volgorde wijzigen vergelijking door beide zijden te delen door c
^2:

een
^{2 + b
2 = c
2}

( een
^{2 + b
2) / c | 2 = 1}

Omdat een
^{2 en b en 2 zijn de tegenovergestelde en aangrenzende zijden en c
2 is de hypotenusa, je hebt een gelijkwaardige verklaring als hierboven, met (tegenover 2 + naast 2) /hypotenusa 2. En dankzij het werk met a, b, c
en de stelling van Pythagoras, kun je nu zien dat deze verklaring gelijk is aan 1!}

(tegenover ^{2+ aangrenzend 2) /hypotenusa 2 = 1,}

en daarom: sin ^{2 + cos 2 = 1.}

(En het is beter om het goed uit te schrijven: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1).}

De wederkerige identiteiten

Laten we een paar minuten besteden aan het bekijken van de wederzijdse identiteiten. Vergeet niet dat het omgekeerde een is gedeeld door ("over") uw nummer - ook bekend als het omgekeerde.

Omdat cosecant de reciprook van sinus is, csc ( θ
) = 1 /sin ( θ
).

Je kunt ook denken aan cosecant met behulp van de definitie van sine. Bijvoorbeeld sinus = tegenoverliggende zijde /hypotenusa. Het omgekeerde hiervan is de fractie omgekeerd omgedraaid, die hypotenusa /tegenovergestelde kant is.

Evenzo is cosinus 'reciproke secant, dus het is gedefinieerd als sec ( θ
) = 1 /cos ( θ
), of hypotenusa /aangrenzende zijde.

En tangent's reciprook is cotangens, dus cot ( θ
) = 1 /tan ( θ
), of cot = aangrenzende zijde /tegenoverliggende zijde.

De bewijzen voor de Pythagorese identiteiten met behulp van secant en cosecant komen sterk overeen met die voor sinus en cosinus. Je kunt de vergelijkingen ook afleiden met behulp van de vergelijking "parent", sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1. Beide zijden delen op cos 2 ( θ
) om de identiteit te krijgen 1 + tan 2 ( θ
) = sec 2 ( θ
). Verdeel beide zijden door sin 2 ( θ
) om de identiteit 1 + cot 2 ( θ
) = csc 2 ( θ
).}

Veel succes en vergeet de drie identiteiten van Pythagoras niet te onthouden!