Priemgetallen zijn meer dan alleen getallen die alleen door zichzelf en door één kunnen worden gedeeld. Ze zijn een wiskundig mysterie, de geheimen die wiskundigen hebben proberen te ontrafelen sinds Euclides bewees dat ze geen einde hebben.

Een lopend project – de Great Internet Mersenne Prime Search – dat tot doel heeft meer en meer priemgetallen van een bijzonder zeldzame soort te ontdekken, heeft onlangs geleid tot de ontdekking van het grootste priemgetal dat tot nu toe bekend is. Uitrekken tot 23, 249, 425 cijfers, het is zo groot dat het gemakkelijk 9 zou vullen 000 boekpagina's. Ter vergelijking, het aantal atomen in het hele waarneembare heelal wordt geschat op niet meer dan 100 cijfers.

Het nummer, eenvoudig geschreven als 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (twee tot de macht 77, 232, 917, min één) werd gevonden door een vrijwilliger die 14 jaar computertijd aan de onderneming had besteed.

Je vraagt ​​je misschien af, als het nummer zich uitstrekt tot meer dan 23 m cijfers, waarom moeten we het weten? De belangrijkste getallen zijn toch zeker de getallen die we kunnen gebruiken om onze wereld te kwantificeren? Dat is niet het geval. We moeten de eigenschappen van verschillende getallen kennen, zodat we niet alleen de technologie kunnen blijven ontwikkelen waarop we vertrouwen, maar houd het ook veilig.

Geheimhouding met priemgetallen

Een van de meest gebruikte toepassingen van priemgetallen in de informatica is het RSA-coderingssysteem. 1978, Ron Rivest, Adi Shamir en Leonard Adleman combineerden enkele eenvoudige, bekende feiten over getallen om RSA te creëren. Het door hen ontwikkelde systeem zorgt voor een veilige overdracht van informatie – zoals creditcardnummers – online.

Het eerste ingrediënt dat nodig is voor het algoritme zijn twee grote priemgetallen. Hoe groter de getallen, hoe veiliger de encryptie. De telnummers één, twee, drie, vier, enzovoort – ook wel de natuurlijke getallen genoemd – zijn, blijkbaar, hier erg handig. Maar de priemgetallen zijn de bouwstenen van alle natuurlijke getallen en dus nog belangrijker.

Neem bijvoorbeeld het getal 70. Deling laat zien dat het het product is van twee en 35. Verder, 35 is het product van vijf en zeven. Dus 70 is het product van drie kleinere getallen:twee, vijf, en zeven. Dit is het einde van de weg voor 70, aangezien geen van deze verder kan worden uitgesplitst. We hebben de oercomponenten gevonden waaruit 70 bestaat, waardoor de priemfactorisatie.

Twee getallen vermenigvuldigen, ook al is het erg groot, is misschien een vervelende maar een eenvoudige taak. Het vinden van priemfactorisatie, anderzijds, is extreem moeilijk, en dat is precies waar het RSA-systeem gebruik van maakt.

Stel dat Alice en Bob stiekem via internet willen communiceren. Ze vereisen een encryptiesysteem. Als ze elkaar voor het eerst persoonlijk ontmoeten, ze kunnen een methode voor encryptie en decryptie bedenken die alleen zij zullen kennen, maar als de eerste communicatie online is, ze moeten eerst het coderingssysteem zelf openlijk communiceren - een riskante onderneming.

Echter, als Alice twee grote priemgetallen kiest, berekent hun product, en communiceert dit openlijk, uitvinden wat haar oorspronkelijke priemgetallen waren, zal een zeer moeilijke taak zijn, omdat alleen zij de factoren kent.

Dus Alice communiceert haar product aan Bob, haar factoren geheim houden. Bob gebruikt het product om zijn bericht aan Alice te versleutelen, die alleen kan worden ontsleuteld met behulp van de factoren die ze kent. Als Eva afluistert, ze kan de boodschap van Bob niet ontcijferen tenzij ze de factoren van Alice verwerft, die nooit zijn gecommuniceerd. Als Eve het product probeert op te splitsen in zijn belangrijkste factoren - zelfs met behulp van de snelste supercomputer - bestaat er geen bekend algoritme dat dat kan bereiken voordat de zon zal ontploffen.

De oerzoektocht

Grote priemgetallen worden ook prominent gebruikt in andere cryptosystemen. Hoe sneller computers worden, hoe groter de getallen die ze kunnen kraken. Voor moderne toepassingen, priemgetallen van honderden cijfers zijn voldoende. Deze aantallen zijn minuscuul in vergelijking met de recent ontdekte reus. In feite, de nieuwe prime is zo groot dat - op dit moment - geen enkele denkbare technologische vooruitgang in rekensnelheid zou kunnen leiden tot een noodzaak om het te gebruiken voor cryptografische veiligheid. Het is zelfs waarschijnlijk dat de risico's van de opdoemende kwantumcomputers zulke monsteraantallen niet nodig hebben om veilig te worden gesteld.

Het zijn noch veiligere cryptosystemen, noch het verbeteren van computers die de laatste ontdekking van Mersenne hebben veroorzaakt, echter. Het is de behoefte van wiskundigen om de juwelen in de kist met het label "priemgetallen" bloot te leggen die de voortdurende zoektocht voeden. Dit is een oerverlangen dat begint met het tellen van één, twee, drie, en drijft ons naar de grenzen van onderzoek. Het feit dat online handel een revolutie teweeg heeft gebracht, is bijna een toevalstreffer.

De gevierde Britse wiskundige Godfrey Harold Hardy zei:"Pure wiskunde is over het algemeen duidelijk nuttiger dan toegepast. Want wat vooral nuttig is, is techniek, en wiskundige techniek wordt voornamelijk aangeleerd door middel van pure wiskunde". Al dan niet enorme priemgetallen, zoals het 50e bekende Mersenne-priemgetal met zijn miljoenen cijfers, ooit nuttig zal worden gevonden is, in ieder geval voor Hardy, een irrelevante vraag. De verdienste van het kennen van deze getallen ligt in het lessen van de intellectuele dorst van de mensheid die begon met Euclides bewijs van de oneindigheid van priemgetallen en nog steeds voortduurt.

Dit artikel is oorspronkelijk gepubliceerd op The Conversation. Lees het originele artikel.