Door Michael O. Smathers – Bijgewerkt op 30 augustus 2022

Trigonometrie is de tak van de wiskunde die zich richt op de relaties tussen de zijden en hoeken van een driehoek. Het wordt doorgaans onderwezen op pre-calculus- of gevorderd meetkundeniveau en is essentieel voor het oplossen van problemen waarbij slechts gedeeltelijke informatie over een driehoek bekend is. In deze gids bespreken we de meest betrouwbare methoden voor het bepalen van onbekende hoeken als je twee zijden hebt, één zijde en een hoek, of helemaal geen rechte hoeken.

Stelling van Pythagoras

Stap 1

Voor een rechthoekige driehoek voert u de twee bekende benen (A en B) in de klassieke vergelijking in:

A ²  + B ²  = C ² – waarbij C de hypotenusa is, de zijde tegenover de rechte hoek. Als de poten bijvoorbeeld 3 cm en 4 cm zijn, bereken dan 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Stap 2

Trek het kwadraat van de bekende zijde af van het kwadraat van de hypotenusa om het kwadraat van de ontbrekende zijde te isoleren. Als het bekende been 5 cm is en de hypotenusa 13 cm, trek dan 5² = 25 af van 13² = 169, wat 144 oplevert.

Stap 3

Neem de wortel van het resultaat om de lengte van het ontbrekende been te vinden. De vierkantswortel van 144 is 12, dus de andere kant meet 12 cm.

Sinus- en cosinusverhoudingen

Stap 1

Selecteer de hoek grenzend aan de bekende hypotenusa en één been. Deze hoek wordt gebruikt om de sinus- en cosinuswaarden te berekenen.

Stap 2

Bereken de sinus door de zijde tegenover de gekozen hoek te delen door de hypotenusa. Voor een driehoek met een hypotenusa van 13 cm en een tegenoverliggende zijde van 12 cm geldt sinθ = 12/13 ≈ 0,923.

Bereken de cosinus door de zijde grenzend aan de gekozen hoek te delen door de hypotenusa. Als we dezelfde driehoek gebruiken, is cosθ = 5/13 ≈ 0,384.

Stap 3

Voer op een wetenschappelijke rekenmachine de sinus- of cosinuswaarde in en druk op de inverse (inv)-knop om de hoek op te halen. Voor sin0.923 of cos0.384 is het resultaat ongeveer 67,38°.

Stap 4

Om de resterende hoek te vinden, voegt u 90° toe aan de berekende hoek en trekt u de som af van 180°. In dit voorbeeld:67,38° + 90° = 157,38°, en 180° – 157,38° = 22,62°.

De wet van sinussen

Als de driehoek geen rechte hoek heeft, biedt de wet van de sinussen een krachtig hulpmiddel om hoeken met tegenoverliggende zijden te relateren. Volgens Clark University wordt de wet uitgedrukt als:

sina/A = sinb/B = sinc/C , waarbij a,b,c hoeken zijn en A,B,C de tegenoverliggende zijden.

Stap 1

Identificeer één bekende zijde en de tegenovergestelde hoek. Als de hoek stomp is (tussen 90° en 180°), zoek dan eerst de aanvullende scherpe hoek door deze af te trekken van 180°.

Stap 2

Bereken de sinus van de bekende hoek door de tegenoverliggende zijde te delen door de aangrenzende zijde, of door een rekenmachine te gebruiken als alleen de lengtes van de zijden zijn opgegeven.

Stap 3

Stel de verhouding sina/A gelijk aan sinb/B (of sinc/C) en los de onbekende sinuswaarde op. Vermenigvuldig beide zijden met de corresponderende zijdelengte om de sinus van de onbekende hoek te isoleren.

Stap 4

Gebruik de inverse sinusfunctie op een rekenmachine om de sinuswaarde terug naar een hoek om te zetten. Herhaal het proces voor elke resterende hoek.

Door deze systematische stappen te volgen, kun je vol vertrouwen alle onbekende hoeken van een driehoek bepalen, of deze nu een rechte hoek bevat of niet.