De bewegingsvergelijkingen van Lagrange zijn een reeks differentiaalvergelijkingen van de tweede orde die de beweging van een systeem van deeltjes beschrijven. Ze zijn afgeleid van het principe van de minste actie, dat stelt dat het daadwerkelijke pad dat een systeem tussen twee punten aflegt, het pad is dat de actie-integraal minimaliseert.

De actie-integraal wordt gedefinieerd als de integraal van de Lagrangiaan in de tijd:

$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt$$

waarbij $q_i$ de gegeneraliseerde coördinaten van het systeem zijn, $\dot{q_i}$ hun tijdsafgeleiden zijn, en $L$ de Lagrangiaan is. De Lagrangiaan is een functie van de gegeneraliseerde coördinaten, hun tijdsafgeleiden en de tijd.

Het principe van de minste actie stelt dat het daadwerkelijke pad dat een systeem tussen twee punten aflegt, het pad is dat de actie-integraal minimaliseert. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als:

$$\delta S =0$$

waarbij $\delta S$ de variatie van de actie-integraal is.

De bewegingsvergelijkingen van Lagrange kunnen worden afgeleid uit het principe van de minste actie door gebruik te maken van de variatierekening. De variatierekening is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met het vinden van functies die een functionaliteit minimaliseren of maximaliseren.

Om de functies te vinden die de actie-integraal minimaliseren, moeten we de variaties van de actie-integraal vinden en deze gelijk stellen aan nul. De variaties van de actie-integraal worden gegeven door:

$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\gedeeltelijk L}{\gedeeltelijk q_i} \delta q_i + \frac{\gedeeltelijk L}{\gedeeltelijk \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\gedeeltelijke L}{\gedeeltelijke t} \delta t\right) dt$$

waarbij $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ en $\delta t$ de variaties zijn van de gegeneraliseerde coördinaten, hun tijdsafgeleiden en de tijd.

Als we de variaties van de actie-integraal gelijk stellen aan nul, krijgen we:

$$\frac{\gedeeltelijke L}{\gedeeltelijke q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\gedeeltelijke L}{\gedeeltelijke \dot{q_i}}\right)$$

Dit zijn de bewegingsvergelijkingen van Lagrange. Het zijn een reeks differentiaalvergelijkingen van de tweede orde die de beweging van een systeem van deeltjes beschrijven.

Voorbeeld:

Beschouw een deeltje met massa $m$ dat beweegt in een eendimensionaal potentieel $V(x)$. De Lagrangiaan voor dit systeem is:

$$L =\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)$$

De gegeneraliseerde coördinaat voor dit systeem is $x$, en de afgeleide naar de tijd is $\dot{x}$. De Lagrangiaan is een functie van $x$, $\dot{x}$ en $t$.

De bewegingsvergelijking van Lagrange voor dit systeem is:

$$\frac{\gedeeltelijke L}{\gedeeltelijke x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\gedeeltelijke L}{\gedeeltelijke \dot{x}}\right)$$

Als we de Lagrangiaan in deze vergelijking vervangen, krijgen we:

$$- \frac{\gedeeltelijk V}{\gedeeltelijk x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$

Dit is de tweede bewegingswet van Newton voor een deeltje met massa $m$ dat beweegt in een eendimensionaal potentieel $V(x)$.