Laten we een bolvormige ballon met straal R beschouwen, uniform geladen met een totale lading q.

(a) Elektrische intensiteit E buiten de ballon (r> R)

Met behulp van de wet van Gauss kunnen we de elektrische intensiteit E bepalen op een afstand r van het midden van de ballon. We beschouwen een bolvormig Gaussiaans oppervlak met straal r, concentrisch met de ballon. Het elektrische veld staat overal loodrecht op het oppervlak en de grootte ervan is constant op het oppervlak. Daarom wordt de elektrische flux door het oppervlak gegeven door:

∮_S \(\pijl rechts E\cdot d\pijl rechts A\)=E⋅4πr^2

De totale lading omsloten door het oppervlak is q. Daarom hebben we volgens de wet van Gauss:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

waarbij ε₀ de permittiviteit van de vrije ruimte is. Door de bovenstaande vergelijkingen te combineren, krijgen we:

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Dit is de uitdrukking voor de elektrische intensiteit buiten de ballon. Het varieert omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand vanaf het midden van de ballon.

(b) Elektrische intensiteit E in de ballon (r

In de ballon is het elektrische veld nul. Dit komt omdat het elektrische veld het gevolg is van de ladingen op het oppervlak van de ballon en er zich geen ladingen in de ballon bevinden.

(c) Elektrisch potentieel V buiten de ballon (r> R)

De elektrische potentiaal V op een afstand r van het midden van de ballon wordt gegeven door:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Omdat de lading gelijkmatig over het oppervlak van de ballon is verdeeld, kunnen we dq =σ⋅dA schrijven, waarbij σ de oppervlakteladingsdichtheid is en dA een oppervlakte-element op het oppervlak is. De totale lading op de ballon is q =σ⋅4πR², waarbij R de straal van de ballon is. Als we deze in de vergelijking voor V invullen, krijgen we:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

Dit is de uitdrukking voor de elektrische potentiaal buiten de ballon. Het varieert omgekeerd evenredig met de afstand vanaf het midden van de ballon.

(d) Elektrisch potentieel V in de ballon (r

In de ballon is de elektrische potentiaal constant en wordt gegeven door:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Dit is de uitdrukking voor de elektrische potentiaal in de ballon. Het is constant en hangt niet af van de afstand vanaf het midden van de ballon.