Euclidische afstand is de afstand tussen twee punten in de Euclidische ruimte. Euclidische ruimte werd oorspronkelijk bedacht door de Griekse wiskundige Euclid rond 300 voor Christus. om de relaties tussen hoeken en afstanden te bestuderen. Dit geometriesysteem is nog steeds in gebruik en is het systeem dat middelbare scholieren het meest bestuderen. Euclidische geometrie is specifiek van toepassing op ruimtes met twee en drie dimensies. Het kan echter gemakkelijk worden gegeneraliseerd naar hogere orde dimensies.

Bereken de Euclidische afstand voor één dimensie. De afstand tussen twee punten in één dimensie is gewoon de absolute waarde van het verschil tussen hun coördinaten. Wiskundig wordt dit weergegeven als |

p1 - q1 |

 waarbij p1 de eerste coördinaat van het eerste punt is en q1 de eerste coördinaat van het tweede punt is. We gebruiken de absolute waarde van dit verschil, omdat afstand normaal wordt beschouwd als alleen een niet-negatieve waarde.


Neem twee punten P en Q in tweedimensionale Euclidische ruimte. We zullen P beschrijven met de coördinaten (p1, p2) en Q met de coördinaten (q1, q2). Construeer nu een lijnsegment met de eindpunten van P en Q. Dit lijnsegment vormt de hypotenusa van een rechthoekige driehoek. Uitbreiding van de resultaten verkregen in stap 1, merken we op dat de lengte van de benen van deze driehoek wordt gegeven door |

p1 - q1 |

 en |

p2 - q2 |

. De afstand tussen de twee punten wordt dan gegeven als de lengte van de hypotenusa.


Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengte van de hypotenusa in stap 2 te bepalen. Deze stelling stelt dat c ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 waar c de lengte is van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek en a, b de lengtes van de andere twee benen zijn. Dit geeft ons c \u003d (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) \u003d ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). De afstand tussen 2 punten P \u003d (p1, p2) en Q \u003d (q1, q2) in tweedimensionale ruimte is daarom ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).


Breid de resultaten van stap 3 uit naar de driedimensionale ruimte. De afstand tussen punten P \u003d (p1, p2, p3) en Q \u003d (q1, q2, q3) kan dan worden gegeven als ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).


Generaliseer de oplossing in stap 4 voor de afstand tussen twee punten P \u003d (p1, p2, ..., pn) en Q \u003d (q1, q2,. .., qn) in n dimensies. Deze algemene oplossing kan worden gegeven als ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).