Probleem: Beschouw een harmonische oscillatorpotentiaal in twee dimensies met Hamiltoniaan gegeven door, $$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac {\partial^2}{\partial y^2} \right )+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2).$$ Vind de energie-eigenwaarden en eigenfuncties hiervan systeem.

Oplossing: De Schrödingervergelijking voor dit systeem is:$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \gedeeltelijke y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$

We kunnen de variabelen scheiden en aannemen dat de golffunctie kan worden geschreven als een product van twee functies, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$. Dit vervangen door de Schrödingervergelijking en delen door $ XY$, we krijgen:

$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \omega^2(x^2+y^2)=E$$

De LHS van deze vergelijking hangt alleen af ​​van x, terwijl de RHS alleen van y afhangt. Daarom moeten beide zijden gelijk zijn aan een constante, die we kunnen aangeven met $E_n$,

$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$

Dit zijn twee onafhankelijke eendimensionale harmonische oscillatorproblemen, en hun oplossingen zijn bekend. De energie-eigenwaarden voor de beweging in de x-richting zijn:

$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), n=0,1,2,...$$

Op dezelfde manier worden de energie-eigenwaarden voor de beweging in de y-richting gegeven door dezelfde formule. Daarom zijn de totale energie-eigenwaarden voor het tweedimensionale systeem:

$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\links(n_x+n_y+1\rechts), n_x,n_y=0,1,2,...$$

De overeenkomstige eigenfuncties zijn producten van de eendimensionale harmonische oscillatorgolffuncties:

$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$

waar

$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$

en $H_n$ zijn de Hermite-polynomen.