Bijna elke middelbare school in de VS leert zijn leerlingen deze eenvoudige zin te onthouden:"Excuseer alstublieft mijn lieve tante Sally." Maar waarom verontschuldigen we ons voor haar gedrag? Droeg ze wit na Labor Day of zoiets?

De wereld zal het misschien nooit weten. In alle ernst:"P huur E xcuse M y D oor A tot S bondgenoot," of PEMDAS , is slechts een geheugensteuntje. Het is een hulpmiddel dat docenten gebruiken om ons te helpen informatie te onthouden door middel van een pakkend rijm, zinnetje of acroniem. Laten we nu eens kijken hoe we dit hulpmiddel kunnen gebruiken om vergelijkingen op te lossen.

1. Wat is PEMDAS?
2. Oorsprong van de Orde van Operaties
3. Waarom gebruiken we PEMDAS?
4. Wiskundige vergelijkingen oplossen met behulp van de PEMDAS-regel
5. Verder dan PEMDAS

Wat is PEMDAS?

PEMDAS is een acroniem en geheugensteuntje dat een reeks regels vertegenwoordigt die worden gebruikt om de volgorde te verduidelijken waarin bewerkingen moeten worden uitgevoerd om wiskundige uitdrukkingen correct te evalueren. PEMDAS staat voor:

1. Haakjes :Dit betekent dat alle berekeningen tussen haakjes eerst moeten worden uitgevoerd. Dit kunnen haakjes of andere groeperingssymbolen zijn.
2. Exponenten :Dit verwijst naar machten of vierkantswortels. U voert deze berekeningen uit nadat u de haakjes heeft behandeld, maar vóór andere bewerkingen.
3. Vermenigvuldigen :Wanneer u vermenigvuldiging tegenkomt in een uitdrukking, na haakjes en exponenten, voert u deze bewerking vervolgens uit.
4. Divisie :Net als bij vermenigvuldigen, voer je de deling uit na haakjes en exponenten, waarbij je van links naar rechts werkt.
5. Toevoeging :Na de bovengenoemde handelingen voert u de optelling uit.
6. Aftrekken :Ten slotte, nadat alle andere bewerkingen zijn uitgevoerd, voert u aftrekkingen uit.

Soms wordt het geheugensteuntje 'BEDMAS' gebruikt, waarbij 'B' staat voor 'haakjes' en hetzelfde doel dient als 'haakjes'. De geheugensteuntjes geven in wezen dezelfde volgorde van handelingen weer om tot het juiste antwoord te komen, maar ze gebruiken een iets andere terminologie op basis van regionale voorkeuren. BEDMAS wordt bijvoorbeeld vaker gebruikt in Canada, terwijl PEMDAS veel voorkomt in de VS.

(Merk op dat vermenigvuldigen en delen dezelfde prioriteit hebben in de volgorde van de bewerkingen, dus de omgedraaide volgorde in BEDMAS verandert niets.)

Oorsprong van de Orde van Operaties

De volgorde van de operaties – zoals de Amerikanen die vandaag de dag kennen – werd waarschijnlijk aan het einde van de 18e eeuw geformaliseerd. Tegen de 20e eeuw kreeg het hulpmiddel een bredere acceptatie, wat samenviel met de opkomst van de Amerikaanse schoolboekenindustrie.

In een e-mail legt wiskunde- en wetenschapshistoricus Judith Grabiner uit dat concepten als de volgorde van bewerkingen het beste kunnen worden gezien als "conventies, zoals rode middelen stoppen en groene middelen gaan, en niet als wiskundige waarheden.

"Maar zodra de conventie eenmaal is vastgesteld", zegt ze, "gaat de analogie met verkeerslichten op:iedereen moet het op dezelfde manier doen en 'dezelfde manier' moet 100 procent ondubbelzinnig zijn."

Wiskunde en dubbelzinnigheid zijn ongemakkelijke bedgenoten.

Waarom gebruiken we PEMDAS?

PEMDAS zorgt voor consistentie in de resultaten van wiskundige berekeningen. Kortom, wanneer verschillende mensen dezelfde uitdrukking evalueren, gebruiken ze hetzelfde proces en komen ze tot hetzelfde resultaat. Als u de juiste volgorde van de handelingen niet volgt, krijgt u waarschijnlijk het verkeerde antwoord.

Het negeren of veranderen van deze volgorde kan tot andere resultaten leiden, wat vooral problematisch kan zijn op gebieden als wetenschap, techniek en financiën, waar nauwkeurige berekeningen cruciaal zijn.

Wiskundige vergelijkingen oplossen met behulp van de PEMDAS-regel

Stel dat het de finaleweek is en er wordt van je verwacht dat je de volgende vergelijking oplost:

Geen paniek. Dit is waar een bepaalde tante in beeld komt. Voor elk woord in de zin:"Excuseer mijn lieve tante Sally", is er een overeenkomstige wiskundige term (die met dezelfde letter begint) die ons vertelt welke procedure(s) we eerst moeten uitvoeren.

Eerst haakjes

Voordat we de vergelijking oplossen, dicteert PEMDAS dat we onszelf een eenvoudige vraag stellen:"Zijn er haakjes?" Als het antwoord 'ja' is, dan zou onze eerste stap moeten zijn om de inhoud ervan op te lossen.

In het bovenstaande voorbeeld zien we dus "2 x 3 " tussen haakjes. Daarom beginnen we met het vermenigvuldigen van 2 keer 3, wat ons 6 geeft. Nu ziet de vergelijking er als volgt uit:

Koude bonen. Tijd om de exponenten erbij te halen! In gedrukte vorm nemen exponenten de vorm aan van een klein getal dat tegen de rechterbovenhoek van een groter getal wordt gedrukt. Zie de 5² ? Die piepkleine "2" is een exponent.

Hier vertellen de kleine twee ons dat we 5 met zichzelf moeten vermenigvuldigen. En 5 x 5 is gelijk aan 25, wat ons dit oplevert:

Nu we de haakjes en exponent(en) hebben afgehandeld, gaan we verder met de volgende twee bewerkingen:vermenigvuldigen en delen.

Vermenigvuldigen en delen

Houd er rekening mee dat we niet zeggen dat vermenigvuldiging voor komt verdeling hier. Niet noodzakelijkerwijs, tenminste.

Stel dat u naar een ander probleem kijkt, dat in dit stadium zowel een vermenigvuldigingsteken als een deelsymbool bevat. Jouw taak zou zijn om de twee bewerkingen in de volgorde van links naar rechts uit te voeren.

Het concept kan het beste worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld. Als de vergelijking 8 ÷ 4 x 3 luidt, deel je eerst de 8 door de 4, waardoor je 2 krijgt. Dan — en alleen dan — zou je die 2 met 3 vermenigvuldigen. We keren nu terug naar ons regelmatig geplande wiskundeprobleem:

Degene die de oorspronkelijke vergelijking heeft geschreven, heeft de zaken mooi en eenvoudig gehouden; er is nauwelijks een deelteken te zien en slechts één vermenigvuldigingssymbool. Bedankt, barmhartige examengoden.

Zonder verder oponthoud gaan we de 6 vermenigvuldigen met de 4, wat ons 24 oplevert.

Tijd om op te tellen en af ​​te trekken

Net als bij vermenigvuldigen en delen, maken optellen en aftrekken deel uit van dezelfde stap. Nogmaals, we voeren deze twee bewerkingen in volgorde uit, van links naar rechts. Dus we zullen die 24 moeten aftrekken van de 9.

Als we dit doen, krijgen we een negatief getal, namelijk -15.

Maar de 25 is een positief getal. Dus in zijn huidige vorm bestaat de vergelijking uit een negatieve 15 plus een positieve 25. En als je deze twee bij elkaar optelt, krijg je een positieve 10.

Dus daar is het. Het antwoord op ons raadsel.

Dubbele haakjes:ga voorzichtig te werk

Voordat we uit elkaar gaan, zijn er nog een paar dingen die je moet weten. Het kan zijn dat je op een dag naar een complexe vergelijking kijkt met veel verschillende bewerkingen tussen twee haakjes. Misschien zoiets als dit:

Maak je geen zorgen. Als u wiskundige problemen met meerdere bewerkingen probeert op te lossen, zorgt het volgen van de PEMDAS-reeks voor consistente en nauwkeurige resultaten. Het enige wat u hoeft te doen is het PEMDAS-proces tussen haakjes te doorlopen voordat je verdergaat met de rest van het probleem.

Hier zorg je eerst voor de exponent (d.w.z. de 2³), en vervolgens voor de aftrekking in die reeks haakjes, voordat je doorgaat naar de vermenigvuldiging op het volgende niveau van de haakjes. Makkelijk. (Als je geïnteresseerd bent:het antwoord op de vergelijking is 2 1/3, of 2,33 als je de voorkeur geeft aan decimalen.)

Voorbij PEMDAS

Hier zijn enkele andere PEMDAS-eque-conventies en -methoden gerelateerd aan rekenkundige uitdrukkingen:

1. BODMAS/BIDMAS :BODMAS wordt gebruikt in het Verenigd Koninkrijk en andere regio's en staat voor B rackets, O rders (of ik indexen voor BIDMAS), D ivisie, M vereffening, A toevoeging en S aftrekken.
2. FOLIE :Specifiek voor binomialen staat dit voor F eerst, O baarmoeder, ik ner, L ast. Het is een methode voor het vermenigvuldigen van twee binomialen.
3. Factorisatie :Getallen of uitdrukkingen opsplitsen in hun eenvoudigste componenten.
4. Distributieve eigendom :Voor uitdrukkingen als a(b + c), zou dit ab + ac.
zijn
5. Associatieve en commutatieve eigenschappen :Deze eigenschappen maken het respectievelijk mogelijk dat getallen anders worden gegroepeerd of verplaatst in een uitdrukking zonder het resultaat te veranderen.
6. Het vierkant voltooien :Een techniek die in kwadratische vergelijkingen wordt gebruikt om ze om te zetten in een perfecte vierkante trinominaal.
7. De noemer rationaliseren :Een methode die wordt gebruikt om radicalen uit de noemer van een breuk te verwijderen.

Dit artikel is bijgewerkt in combinatie met AI-technologie, vervolgens op feiten gecontroleerd en bewerkt door een HowStuffWorks-editor.

Robert Recorde – een arts en wiskundige die rond 1510 CE in Wales werd geboren – wordt gezien als de uitvinder van het gelijkteken (=). Hij besloot twee parallelle lijnen te gebruiken voor dit symbool omdat, in zijn woorden, "geen 2 thynges moare equalle [sic] kunnen zijn."

Veelgestelde vragen over PEMDAS

Heeft PEMDAS ongelijk?

Waarom staat PEMDAS in die volgorde?

Wat is de formule van PEMDAS?

Wat is beter BODMAS of PEMDAS?