Wetenschap
Het einde van de kwantumtunnel:exacte instanton-transseries voor de kwantummechanica
In de kwantumwereld kunnen processen in twee verschillende klassen worden verdeeld. Eén klasse, die van de zogenaamde ‘perturbatieve’ verschijnselen, is relatief eenvoudig te detecteren, zowel in een experiment als in een wiskundige berekening. Voorbeelden zijn er genoeg:het licht dat atomen uitstralen, de energie die zonnecellen produceren, de toestanden van qubits in een kwantumcomputer.
Deze kwantumverschijnselen zijn afhankelijk van de constante van Planck, de fundamentele constante van de natuur die bepaalt hoe de kwantumwereld verschilt van onze grootschalige wereld, maar op een eenvoudige manier. Ondanks de belachelijke kleinheid van deze constante – uitgedrukt in alledaagse eenheden van kilogrammen, meters en seconden heeft het een waarde die begint op de 34e decimaal na de komma – is het feit dat de constante van Planck niet precies nul is voldoende om dergelijke kwantumeffecten te berekenen.
Dan zijn er de ‘niet-perturbatieve’ verschijnselen. Een van de bekendste is radioactief verval:een proces waarbij elementaire deeltjes door kwantumeffecten kunnen ontsnappen aan de aantrekkingskracht die hen aan atoomkernen bindt. Als de wereld ‘klassiek’ zou zijn – dat wil zeggen, als de constante van Planck precies nul zou zijn – zou deze aantrekkingskracht onmogelijk te overwinnen zijn.
In de kwantumwereld komt verval voor, maar nog steeds slechts af en toe; het zou bijvoorbeeld gemiddeld meer dan vier miljard jaar duren voordat een enkel uraniumatoom vervalt. De verzamelnaam voor dergelijke zeldzame kwantumgebeurtenissen is ‘tunnelen’:om te kunnen ontsnappen moet het deeltje ‘een tunnel graven’ door de energiebarrière die het aan de kern gebonden houdt. Een tunnel die miljarden jaren kan duren om te graven, en waardoor The Shawshank Redemption op kinderspel lijkt.
Wiskunde schiet te hulp
Wiskundig gezien zijn niet-perturbatieve kwantumeffecten veel moeilijker te beschrijven dan hun verstorende neven. Toch hebben natuurkundigen in de loop van de eeuw dat de kwantummechanica bestaat veel manieren gevonden om met deze effecten om te gaan, en deze nauwkeurig te beschrijven en te voorspellen.
“Toch was er in dit eeuwenoude probleem nog werk aan de winkel”, zegt Alexander van Spaendonck, een van de auteurs van de nieuwe publicatie. "De beschrijvingen van tunnelverschijnselen in de kwantummechanica hadden verdere unificatie nodig - een raamwerk waarin al dergelijke verschijnselen beschreven en onderzocht konden worden met behulp van een enkele wiskundige structuur."
Verrassend genoeg werd een dergelijke structuur gevonden in de veertig jaar oude wiskunde. In de jaren tachtig had de Franse wiskundige Jean Écalle een raamwerk opgezet dat hij heropleving noemde, en dat precies dit doel had:structuur geven aan niet-perturbatieve verschijnselen.
Waarom duurde het dan veertig jaar voordat de natuurlijke combinatie van Écalle's formalisme en de toepassing op tunnelverschijnselen tot een logische conclusie kwam?
Marcel Vonk, de andere auteur van de publicatie, legt uit:"De originele artikelen van Écalle waren lang – meer dan duizend pagina's bij elkaar – zeer technisch en alleen in het Frans gepubliceerd. Als gevolg hiervan duurde het tot halverwege de jaren 2000 voordat een aanzienlijk aantal natuurkundigen begonnen vertrouwd te raken met deze 'gereedschapskist' van heropleving.
"Oorspronkelijk werd het vooral toegepast op eenvoudige 'speelgoedmodellen', maar de tools werden natuurlijk ook uitgeprobeerd op de kwantummechanica in de praktijk. Ons werk brengt deze ontwikkelingen naar hun logische conclusie."
Mooie structuur
Die conclusie is dat een van de instrumenten in de gereedschapskist van Écalle, die van een 'transserie', perfect geschikt is om tunnelverschijnselen in vrijwel elk kwantummechanicaprobleem te beschrijven, en dat altijd op dezelfde manier. Door de wiskundige details te beschrijven, ontdekten de auteurs dat het niet alleen mogelijk werd om alle tunnelverschijnselen in één enkel wiskundig object te verenigen, maar ook om bepaalde ‘sprongen’ te beschrijven in hoe groot de rol van deze verschijnselen is – een effect dat bekend staat als Stokes. ' fenomeen.
Van Spaendonck deelt:‘Met behulp van onze beschrijving van het fenomeen Stokes konden we aantonen dat bepaalde dubbelzinnigheden die de ‘klassieke’ methoden voor het berekenen van niet-perturbatieve effecten hadden geteisterd – oneindig veel zelfs – allemaal in onze methode verdwenen. blijkt nog mooier te zijn dan we oorspronkelijk hadden verwacht.
‘De transserie die kwantumtunneling beschrijft, blijkt op een verrassende manier te splitsen – of te ‘ontbinden’:in een ‘minimale’ transserie die de fundamentele tunnelverschijnselen beschrijft die in wezen voorkomen in elk kwantummechanicaprobleem, en een object dat we de 'mediaan transseries' die de meer probleemspecifieke details beschrijft, en die bijvoorbeeld afhangt van hoe symmetrisch een bepaalde kwantumsetting is."
Nu deze wiskundige structuur volledig is opgehelderd, is de volgende vraag natuurlijk waar de nieuwe lessen kunnen worden toegepast en wat natuurkundigen ervan kunnen leren. In het geval van radioactiviteit zijn sommige atomen bijvoorbeeld stabiel, terwijl andere vervallen. In andere fysieke modellen kunnen de lijsten met stabiele en onstabiele deeltjes variëren als de opstelling enigszins wordt gewijzigd – een fenomeen dat bekend staat als 'wall-crossing'.
Wat de onderzoekers vervolgens in gedachten hebben, is om dit idee van muurovergang te verduidelijken met behulp van dezelfde technieken. Dit moeilijke probleem is opnieuw door veel groepen op veel verschillende manieren bestudeerd, maar nu zou een soortgelijke verenigende structuur wel eens in de buurt kunnen komen. Er is zeker licht aan het einde van de tunnel.
Het werk is gepubliceerd in het tijdschrift SciPost Physics .