Stel je voor dat je in het midden van een perfect cirkelvormige arena staat en uitkijkt op de mensenmassa aan de rand. Je ziet een vriend op de ene stoel en een leraar op de andere. Hoe ver zijn ze uit elkaar? Welke hoek vormen de zichtlijnen tussen jou en elk van hen? Deze vragen worden beantwoord door het concept van een centrale hoek .

Een centrale hoek is de hoek gevormd door twee stralen getrokken vanuit het middelpunt van de cirkel naar twee punten op de omtrek ervan. De twee stralen zijn de zichtlijnen van jou naar de vriend en naar de leraar. De hoek daartussen is de centrale hoek, de hoek die het dichtst bij het middelpunt van de cirkel ligt.

De vriend en leraar zitten op de omtrek van de cirkel. Het gebogen pad langs de rand die ze verbindt, wordt een boog genoemd .

De centrale hoek vinden op basis van booglengte en omtrek

Als u de booglengte kent (de afstand die je door de arena zou lopen om van de vriend naar de leraar te komen) en de totale omtrek van de cirkel is de relatie tussen de twee:

booglengte / omtrek =centrale hoek / 360°

Herschikken geeft:

centrale hoek =(booglengte/omtrek) × 360°

Deze verhouding werkt omdat het deel van de omtrek van de cirkel dat de boog in beslag neemt, precies hetzelfde deel is van de volledige hoek van 360°.

De centrale hoek vinden op basis van booglengte en straal

Wanneer de straal r van de cirkel bekend is, kunt u de centrale hoek in radialen berekenen met:

θ =s / r

waar s is de booglengte. Het resultaat θ wordt gemeten in radialen. Als je de voorkeur geeft aan graden, vermenigvuldig dan de radiaalwaarde met 57,2958 (of gebruik gewoon de omtrekmethode hierboven).

Je kunt ook de booglengte oplossen:

s =θ × r

of voor de straal wanneer de booglengte en de centrale hoek zijn opgegeven:

r =s / θ

De centrale hoekstelling

Denk eens aan een derde persoon – uw buurman – die aan de andere kant van de arena zit. Vanuit het perspectief van de buurman vormen de twee zichtlijnen naar de vriend en de leraar een ingeschreven hoek (een hoek waarvan de hoekpunten op de omtrek liggen). De Centrale-hoekstelling koppelt deze ingeschreven hoek aan de centrale hoek die u waarneemt:

∠AOC =2∠ABC

Hier zijn de punten A en B de vriend en leraar, C de buurman en O het middelpunt. De stelling geldt als het buurland aan dezelfde kant van het akkoord AB ligt als de boog die de andere punten niet bevat.

Uitzondering op de centrale-hoekstelling

Wanneer het ingeschreven punt C binnen de kleine boog beweegt tussen A en B verandert de relatie. De ingeschreven hoek wordt de aanvulling op de helft van de centrale hoek:

∠ABC =180° – (∠AOC / 2)

Met andere woorden:de ingeschreven hoek en de helft van de centrale hoek zijn samen 180°.

Visualiseer de concepten

Math Open Reference biedt een interactief hulpmiddel waarmee u de buurman rond de cirkel kunt slepen en kunt observeren hoe de centrale en ingeschreven hoeken in realtime evolueren. Probeer het voor een praktisch begrip van de theorie.

DragonImages/iStock/GettyImages