Computers hebben geholpen wiskundig onderzoek in meerdere richtingen te versnellen en de aanwezigheid van wiskunde in het dagelijks leven te vergroten.

De rol van technologie bij het onderwijzen en leren van wiskunde houdt me steeds meer bezig als wiskundeleraar die elk jaar nieuwe studenten ziet aankomen aan de Simon Fraser University (SFU). Zowel bij SFU, en als ik als gastspreker Canadese wiskundelokalen bezoek, Ik kijk uit in kamers vol levendige jonge mensen, omringd door rekenmachines, computers en smartphones.

En dat is oké. Zoals veel wiskundigen, Ik heb niet teruggeduwd tegen de nieuwe technologische winden die door de moderne tijd zijn ingeluid. Maar dergelijke technologie moet verbeteren en uitbreiden, in plaats van te vervangen, het vermogen om wiskundig te denken.

Adieu geometrie?

Onlangs, Ik ontmoette een jongere die geïnteresseerd was in wiskunde en informatica, maar niet zeker welke richting hij op zou willen gaan. Ik stelde het volgende probleem voor dat door de Universiteit van Oxford werd gebruikt om niet-gegradueerde wiskundekandidaten te interviewen:"Stel je een ladder voor die tegen een verticale muur leunt met zijn voeten op de grond. De middelste sport van de ladder is aan de zijkant in een andere kleur gespoten, zodat we het kunnen zien als we van opzij naar de ladder kijken. Welke vorm krijgt die middelste sport als de ladder op de grond valt?"

Een manier om de ladderpuzzel te benaderen, is door te gebruiken, op een relatief eenvoudige manier Euclidische meetkunde, om aan te tonen dat het antwoord een kwart cirkel is. Zie onder:

In plaats van te putten uit geometrische eigenschappen, de jonge man gebruikte de programmeertaal Python om het probleem te animeren en de gewenste vorm te vinden. Eerder die zomer had hij Python in zijn eentje geleerd. Toen ik hem vroeg naar congruente driehoeken, de jonge man keek verbijsterd.

Situaties als deze maken me bang dat als ze niet met de nodige zorgvuldigheid worden gebruikt in de klas, technologie kan studenten beroven van de volledige ontwikkeling van hun reken- en ruimtelijke vaardigheden.

Onbereikbare problemen

Wat wiskundigen 'de computationeel ondersteunde benadering' noemen, heeft onderzoekers in staat gesteld wiskundige problemen te onderzoeken en op te lossen die anders onbereikbaar zouden zijn. Het computerondersteunde bewijs van de beroemde vierkleurenstelling komt voor de geest.

Maar sommige wiskundige vragen hebben de beperkingen van bestaande technologie aangetoond - en het feit dat sommige oplossingen grotendeels afhankelijk zijn van menselijke intuïtie, inspiratie en intelligentie. Een zo'n probleem, bekend als het partijprobleem (ja, zoals bij een etentje), is het vinden van het aantal gasten dat garandeert dat je altijd zes mensen kunt vinden die wederzijdse vrienden zijn of zes mensen die wederzijdse vreemden zijn.

In wiskundige termen, dit probleem gaat over het vinden van wat "het Ramsey-getal R(6, 6), " gerelateerd aan een tak van de wiskunde die bestudeert welke voorwaarden moeten bestaan ​​om een ​​bepaald patroon te laten verschijnen.

Geloof het of niet, sinds 1930 weten wiskundigen dat R(6, 6) bestaat; sinds 1994 weten we dat dit aantal tussen de 102 en 165 ligt.

Geen vooruitgang sindsdien!

Experimentele wiskunde

De gevierde Canadese wiskundigen en broers Peter Borwein en Jonathan Borwein — die in 1993 het Centrum voor Experimentele en Constructieve Wiskunde oprichtten aan de SFU — behoorden tot de onderzoekspioniers die hebben bijgedragen aan het op één lijn brengen van wiskunde en nieuwe technologieën.

Zoals voorgesteld door Jonathan Borwein en wiskundige David H. Bailey, experimentele wiskunde maakt gebruik van "een computationeel ondersteunde benadering van wiskundig onderzoek." Ze bedoelden dat experimentele wiskunde gaat over het gebruik van computers om processen te stimuleren die al eeuwenlang de basiselementen van wiskundig onderzoek zijn:

1. Inzicht en intuïtie verkrijgen
2. Wiskundige principes visualiseren
3. Nieuwe relaties ontdekken
4. Het testen en vooral het vervalsen van vermoedens
5. Een mogelijk resultaat onderzoeken om een ​​op feiten gebaseerde beslissing te nemen als het mogelijke resultaat formeel bewijs verdient
6. Benaderingen voorstellen voor formeel bewijs

Ze voerden ook aan dat computers zouden kunnen helpen bij het uitvoeren van lange wiskundige afleidingen en het bevestigen van analytisch afgeleide resultaten.

Hun punt was dat computers onderzoekers in staat stellen hun verkenningen naar nieuwe of andere dimensies te duwen.

Nieuwe verkenning

De ideeën van Bailey en Borwein kunnen worden gebruikt om hedendaagse en toekomstige manieren van wiskundeonderwijs te beschrijven, zodat leerlingen op nieuwe manieren naar problemen kunnen kijken.

In mijn geometrie-Python anekdote, Ik had de student misschien uitgedaagd door op te merken dat de vorm die wordt verkregen door de door Python gegenereerde animatie er alleen uitziet als een kwart cirkel (dit kan verwijzen naar de punten 1-3 en 5 in de Bailey-Borwein-definitie) en dat een volledig antwoord een analytisch afgeleid resultaat (punt 6).

Om de uitdaging te rechtvaardigen, Ik zou er ook voor kunnen kiezen om de student een ogenschijnlijk verbijsterend visueel bewijs te laten zien, zoals de animatie die 64 =65 "toont".

Ik zou kunnen besluiten door de 17e-eeuwse wiskundige en filosoof René Descartes te citeren:die besloot:"... om nooit iets voor waar te accepteren waarvan ik niet duidelijk wist dat het zo was; dat wil zeggen, voorzichtig ... vermijd ... vooroordelen, en om in mijn oordeel niets meer te bevatten dan wat mij zo duidelijk en duidelijk werd gepresenteerd dat alle grond van twijfel werd uitgesloten."

Experimentele wiskunde curricula

Onderzoekers en opvoeders hebben leerplannen ontwikkeld die gespecialiseerd zijn in het leren van kinderen en jongeren hoe ze computers kunnen gebruiken om hun eigen wiskundig leren en denken op Canadese middelbare scholen te verbeteren en uit te breiden. Bijvoorbeeld, Het RabbitMath-curriculumproject, onder leiding van wiskundige Peter Taylor van Queen's University en Chris Suurtamm van de University of Ottawa, of het Callysto-project, verdedigd door het Pacific Institute for Mathematical Sciences (PIMS) en de in Alberta gevestigde non-profitorganisatie Cybera.

De uitdaging voor het wiskundeonderwijs zal zijn om steeds meer een gezond evenwicht in onze klaslokalen te creëren en te behouden tussen de kracht van rigoureuze, formele wiskunde en de kracht van computers.

Als ik aan de toekomst denk, Ik ben bezorgd dat de rigoureuze en formele onderdelen van de wiskunde zouden kunnen vervagen en buiten het bereik van studenten zouden blijven.

Voor een student in de niet al te verre toekomst, zou, bijvoorbeeld, het getal pi wordt een rationaal getal - wat betekent, zou het gelijk zijn aan de benadering die op dit moment door de krachtigste computer wordt gegenereerd?

Het belangrijkste is, wat betekent dit alles voor studenten en hun leren van wiskunde als een instrument om beter door de wereld om hen heen te navigeren?

Dit artikel is opnieuw gepubliceerd vanuit The Conversation onder een Creative Commons-licentie. Lees het originele artikel.