Een periodieke functie is een functie die de waarden herhaalt op regelmatige intervallen of 'periodes'. Zie het als een hartslag of het onderliggende ritme in een nummer: het herhaalt dezelfde activiteit op een constante ritme. De grafiek van een periodieke functie ziet eruit alsof een enkel patroon steeds opnieuw wordt herhaald.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een periodieke functie herhaalt zijn waarden op regelmatige intervallen of "perioden".
Soorten periodieke functies

De meest bekende periodieke functies zijn trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens, cotangent, secant, cosecant, enz. Andere voorbeelden van periodieke functies in de natuur omvatten lichtgolven, geluidsgolven en maanstanden. Elk van deze, wanneer op het coördinaatvlak getekend, maakt een herhalend patroon op hetzelfde interval, waardoor het gemakkelijk te voorspellen is.

De periode van een periodieke functie is het interval tussen twee "overeenkomende" punten op de grafiek . Met andere woorden, het is de afstand langs de x-as die de functie moet afleggen voordat hij zijn patroon begint te herhalen. De basis sinus- en cosinusfuncties hebben een periode van 2π, terwijl tangens een periode van π heeft.

Een andere manier om de periode en herhaling voor trig-functies te begrijpen, is door erover na te denken in termen van de eenheidscirkel. Op de eenheidscirkel gaan waarden rond en rond de cirkel wanneer ze groter worden. Die repetitieve beweging is hetzelfde idee dat wordt weerspiegeld in het vaste patroon van een periodieke functie. En voor sinus en cosinus moet u een volledig pad rond de cirkel (2π) maken voordat de waarden beginnen te herhalen.
Vergelijking voor een periodieke functie

Een periodieke functie kan ook worden gedefinieerd als een vergelijking met deze vorm:

f (x + nP) \u003d f (x)

Waar P de periode is (een constante van nul) en n een positief geheel getal is.

U kunt bijvoorbeeld de sinusfunctie op deze manier schrijven:

sin (x + 2π) \u003d sin (x)

n \u003d 1 in dit geval en de periode, P, voor een sinusfunctie is 2π.

Test het door een paar waarden voor x uit te proberen, of kijk naar de grafiek: Kies een x-waarde en verplaats 2π in een van beide richtingen langs de x-as; de y-waarde moet hetzelfde blijven.

Probeer het nu als n \u003d 2:

sin (x + 2 (2π)) \u003d sin (x)

sin (x + 4π) \u003d sin (x).

Bereken voor verschillende waarden van x: x \u003d 0, x \u003d π, x \u003d π /2, of controleer het in de grafiek.

De cotangent-functie volgt dezelfde regels, maar de periode is π radialen in plaats van 2π radialen, dus de grafiek en de vergelijking zien er als volgt uit:

cot (x + nπ) \u003d cot (x)

Merk op dat raaklijn- en cotangente functies periodiek zijn, maar niet continu: er zijn "onderbrekingen" in hun grafieken.