Radicale breuken zijn geen kleine rebelse breuken die te laat blijven, drinken en roken. In plaats daarvan zijn het breuken die radicalen bevatten - meestal vierkantswortels wanneer je voor het eerst kennismaakt met het concept, maar later kom je ook kubuswortels, vierde wortels en dergelijke tegen, die ook allemaal radicalen worden genoemd. Afhankelijk van wat uw leraar u precies vraagt, zijn er twee manieren om radicale breuken te vereenvoudigen: ofwel de radicalen volledig uitsluiten, vereenvoudigen of de fractie rationaliseren, wat betekent dat u de radicaal uit de noemer haalt maar nog steeds kunt een radicaal in de teller.

Radicale expressies van een breuk uitschakelen

Overweeg je eerste optie, waarbij je de radicalen uit de breuk betrekt. Er zijn eigenlijk twee manieren om dit te doen. Als dezelfde radicaal bestaat in alle termen in zowel de boven- als onderzijde van de breuk, kunt u eenvoudig de radicale uitdrukking wegflassen en annuleren. Als u bijvoorbeeld:

(2√3) /(3√3 _) _

U kunt beide groepen weglaten, omdat ze in elke term in de teller aanwezig zijn en noemer. Dat laat je achter:

√3 /√3 × 2/3

En omdat elke breuk met exact dezelfde niet-nulwaarden in teller en noemer gelijk is aan één, kun je herschrijven dit als:

1 × 2/3

Of gewoon 2/3.

Vereenvoudigen van de radicale expressie

Soms zul je geconfronteerd worden met een radicale expressie die geen beknopt antwoord heeft, zoals √3 uit het vorige voorbeeld. In dat geval bewaart u gewoonlijk de radicale term zoals die is, met behulp van basishandelingen zoals factoring of annulering om deze te verwijderen of te isoleren. Maar soms is er een duidelijk antwoord. Beschouw de volgende breuk:

(√4) /(√9)

In dit geval, als u uw wortels kent, kunt u zien dat beide groepen eigenlijk vertrouwde gehele getallen vertegenwoordigen. De vierkantswortel van 4 is 2 en de vierkantswortel van 9 is 3. Dus als je vertrouwde vierkantswortels ziet, kun je de breuk gewoon herschrijven met hen in hun vereenvoudigde, integere vorm. In dit geval zou je hebben:

2/3

Dit werkt ook met kubuswortels en andere radicalen. De kubuswortel van 8 is bijvoorbeeld 2 en de kubuswortel van 125 is 5. Dus als u bent tegengekomen:

( ^{3√8) /( 3√125)}

Je zou met een beetje oefening meteen kunnen zien dat het eenvoudiger en gemakkelijker te verwerken is:

2/5

Rationaliseren van de noemer

Vaak laten leraren je radicale uitdrukkingen in de teller van je breuk houden; maar, net als het getal nul, veroorzaken radicalen problemen wanneer ze in de noemer of het onderste getal van de breuk verschijnen. Dus de laatste manier waarop je gevraagd kan worden om radicale breuken te vereenvoudigen, is een bewerking die ze rationaliseren, wat betekent dat je de radicaal uit de noemer haalt. Vaak betekent dit dat de radicale expressie in plaats daarvan in de teller verschijnt.

Overweeg de breuk

4 /_√_5

Je kunt _√_5 niet eenvoudig vereenvoudigen tot een geheel getal, en zelfs als je het wegfiltert, blijft er nog steeds een breuk achter met een radicaal in de noemer:

1 /_√_5 × 4/1

Dus geen van de reeds besproken methoden zal werken. Maar als je de eigenschappen van breuken onthoudt, is een breuk met een niet-nul getal aan zowel boven- als onderkant gelijk aan 1. Dus je zou kunnen schrijven:

√_5 /
√_5 = 1

En omdat je 1 keer iets anders kunt vermenigvuldigen zonder de waarde van dat andere te veranderen, kun je ook het volgende schrijven zonder de waarde van de breuk daadwerkelijk te veranderen:

√_5 /
√ 5 × 4 /
√_5

Zodra je je vermenigvuldigt, gebeurt er iets bijzonders. De teller wordt 4_√_5, wat acceptabel is omdat je doel simpelweg was om de radicaal uit de noemer te halen. Als het in de teller verschijnt, kun je het verwerken.

Ondertussen wordt de noemer √_5 ×
√ 5 of (
√_5) ^{2. En omdat een vierkantswortel en een vierkant elkaar opheffen, vereenvoudigt dat eenvoudigweg 5. Dus je breuk is nu:}

4_√_5 /5, wat als een rationale breuk wordt beschouwd omdat er geen radicaal is in de noemer.