thomas-bethge/iStock/GettyImages

In de wiskunde is het omgekeerde van een getal de waarde die, vermenigvuldigd met het origineel, 1 oplevert. Bijvoorbeeld het omgekeerde van de variabele x is \frac{1}{x} omdat x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .

In trigonometrie kunnen de twee niet-rechte hoeken van een rechthoekige driehoek worden uitgedrukt met de bekende verhoudingen sinus, cosinus en tangens. Als uitbreiding van dit concept definiëren wiskundigen de wederzijdse verhoudingen:cosecans (csc), secans (sec) en cotangens (cot). Dit zijn respectievelijk de reciproque waarden van sinus, cosinus en tangens.

Hoe je wederkerige identiteiten kunt bepalen

Beschouw een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek θ . Laat de tegenoverliggende zijde θ wees b , de aangrenzende zijde is a , en de hypotenusa is r . De primaire trigonometrische verhoudingen zijn:

\(\text{sine }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\text{cosinus }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\text{raaklijn }θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)

Per definitie is het omgekeerde van elke verhouding de waarde die wordt vermenigvuldigd tot 1. We definiëren dus:

\(\text{cosecant }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\text{secant }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangens }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)

Deze wederzijdse identiteiten voldoen aan de volgende fundamentele relaties voor elke hoek θ :

\(\sin θ \times \csc θ =1\)
\(\cos θ \times \sec θ =1\)
\(\tan θ \times \cot θ =1\)

Aanvullende goniometrische identiteiten

Als we de sinus en cosinus kennen, kunnen we de raaklijn afleiden via de quotiëntidentiteit:

\(\frac{\sin θ}{\cos θ} =\tan θ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)

De identiteit van Pythagoras volgt uit de rechthoekige-driehoekrelatie a ² + b ² =r ². Het herschikken en vervangen van de sinus- en cosinusverhoudingen levert het volgende op:

\(\sin^2 θ + \cos^2 θ =1\)

Het invoegen van de wederkerige identiteiten in deze uitdrukking levert nog twee essentiële relaties op:

\(\tan^2 θ + 1 =\sec^2 θ\)
\(\cot^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)

Deze identiteiten vormen de ruggengraat van veel trigonometrische bewijzen en toepassingen, van eenvoudige geometrie tot geavanceerde technische berekeningen.