Door Jacob Reis | Bijgewerkt op 30 augustus 2022

ClaudeLux/iStock/Getty Images

Begrensd versus onbegrensd in wiskunde

In de wiskunde worden de termen begrensd gebruikt en onbegrensd verschijnen in verschillende subvelden. Als u de precieze betekenis ervan begrijpt, voorkomt u verwarring, vooral als ze worden toegepast op functies, operators en sets.

Begrensde functies

Een begrensde functie is er een waarvan het bereik tussen twee eindige grenzen ligt. In een grafiek betekent dit dat de waarden van de functie kunnen worden opgesloten door twee horizontale lijnen. De sinusfunctie oscilleert bijvoorbeeld tussen –1 en 1 en is dus begrensd. Wiskundig gezien is een functie f gedefinieerd op een verzameling X (met reële of complexe waarden) begrensd als er M> 0 bestaat, zodat |f(x)| ≤ M voor elke x ∈ X.

Onbegrensde functies

Omgekeerd is dit een onbegrensde functie heeft niet zulke eindige boven- of ondergrenzen; de waarden ervan kunnen willekeurig groot (of klein) worden. Functies zoals f(x) =1/x (gedefinieerd voor x ≠ 0) of f(x) =x² zijn onbegrensd op hun respectieve domeinen.

Begrensde operators

Bij functionele analyse zijn operatoren inwerken op elementen van een vectorruimte. Een operator A wordt begrensd genoemd als er een constante C bestaat zodat ‖A(x)‖ ≤ C‖x‖ voor alle x in zijn domein. Als een dergelijke constante niet bestaat, is de operator onbegrensd . Volgens de Encyclopaedia of Mathematics , wijst een onbegrensde operator een begrensde set in zijn domein toe aan een onbegrensde set in zijn codomein.

Begrensde sets

Een reeks getallen is begrensd wanneer het zowel een boven- als een ondergrens heeft. Klassieke voorbeelden zijn het interval [2, 401) en de reeks {1,½,⅓,¼,…}. Een onbegrensd set mist ten minste één van deze eindige grenzen; De verzameling van alle positieve gehele getallen ℕ is bijvoorbeeld onbegrensd omdat deze geen eindige bovengrens heeft.

Belangrijkste punten

• Begrensde objecten blijven binnen eindige grenzen; onbegrensde objecten niet.
• De definitie hangt af van de context:functies, operators of sets.
• Controleer in de praktijk of er sprake is van een eindig supremum en infimum om de grens te bepalen.