Inzicht in de basis

* Elektrisch quadrupoolmoment: Deze hoeveelheid meet de afwijking van een ladingsverdeling door bolvormige symmetrie. Een positief quadrupoolmoment duidt op een prolate (voetbalachtige) vorm, terwijl een negatief moment een Oblate (pancake-achtige) vorm aangeeft.

* Model voor extreem single-deeltjes: Dit model vereenvoudigt de kern door aan te nemen dat alle nucleonen (protonen en neutronen) behalve één in een sferisch symmetrische kern zijn. Het enkele deeltje buiten de kern draagt ​​het hele quadrupoolmoment bij.

Berekening

1. Beschouw het enkele deeltje: We moeten ons concentreren op het enkele deeltje buiten de kern. Laten we aannemen dat het een lading *e *heeft en in een orbitaal is met hoekmomentum *l *.

2. kwantificeer het hoekmomentum: In de kwantummechanica wordt de*z*-component van het hoekmomentum gekwantiseerd, wat betekent dat het alleen discrete waarden kan aannemen:*m*ħ, waarbij*m*varieert van -*l*tot +*l*.

3. Definieer de quadrupole momentoperator: De quadrupole momentoperator, *q *, wordt gegeven door:

*Q*=(2/e) σ*i*(3*z _i 2 - *r _i 2 ))

* * i * geeft elk deeltje aan in de kern.

* * z _i *is de *z *-coördinaat van het *i *-de deeltje.

* * r _i *is de radiale afstand van het *i *-de deeltje van het centrum van de kern.

4. Evalueer voor het enkele deeltje: Omdat we te maken hebben met het extreme model met één deeltjes, hoeven we alleen de bijdrage van het enkele deeltje te overwegen:

*Q*=(2/e) (3*z ² - *r ^{2 ))}

5. Express in sferische coördinaten: Converteren * z * en * r * naar sferische coördinaten (r, θ, φ):

* * z * =* r * cos (θ)

* * r ^{2 * =* r 2 *}

6. Vereenvoudig: Vervang in de quadrupole momentvergelijking:

*Q *=(2/e) *r ^{2 (3 cos 2 (θ) - 1)}

7. Gemiddeld over hoekige coördinaten: Het quadrupole moment is een verwachtingswaarde. Om het te vinden, moeten we gemiddeld alle mogelijke hoeken gemiddeld:

*Q *=(2/e) *r ^{2 ∫ ₀ 2π dφ ∫ ₀ π sin (θ) (3 cos 2 (θ) - 1) Dθ}

8. Evalueer de integralen: De integrale evalueert:

*Q *=(4/5) *e * *r ²

9. Laatste uitdrukking: Het elektrische quadrupoolmoment voor een enkel deeltje in het extreme model met één deeltjes is:

*Q *=(4/5) *e * *r ²

interpretatie

*Het quadrupoolmoment hangt af van de lading (*e*) en de radiale afstand kwadrated (*r ² *) van het enkele deeltje.

* Een grotere * r * (deeltje verder van de kern) leidt tot een groter quadrupoolmoment.

* Het teken van het vierpoolmoment (positief in dit geval) duidt op een prolate vorm, consistent met een enkel deeltje buiten een sferisch symmetrische kern.

Opmerking: Deze berekening veronderstelt een enkel deeltje in de kern. Voor echte kernen dragen meerdere deeltjes bij en zijn meer geavanceerde modellen nodig om het quadrupoolmoment nauwkeurig te berekenen.