beperkingen in klassieke mechanica

In de klassieke mechanica zijn beperkingen beperkingen op de mogelijke bewegingen van een systeem. Ze beperken de vrijheidsgraden die het systeem bezit, wat betekent dat het aantal onafhankelijke coördinaten dat nodig is om de configuratie ervan volledig te beschrijven. Beperkingen kunnen zijn:

1. Holonomic:

* gedefinieerd door een vergelijking met betrekking tot de coördinaten van het systeem: Deze beperkingen kunnen worden uitgedrukt als een vergelijking van de vorm f (q₁, q₂, ..., qₙ, t) =0, waarbij qᵢ gegeneraliseerde coördinaten zijn en t tijd is.

* Voorbeeld: Een kraal die op een draad glijdt, is beperkt om alleen langs het pad van de draad te bewegen, die kan worden beschreven door een wiskundige vergelijking.

2. Nonholonomic:

* kan niet worden uitgedrukt als een enkele vergelijking met betrekking tot de coördinaten: Ze omvatten vaak ongelijkheden of differentiaalvergelijkingen.

* Voorbeeld: Een rollende bal is onderworpen aan niet-holonomische beperkingen omdat de snelheid ervan moet voldoen aan de no-slip toestand, die niet als een enkele vergelijking kan worden uitgedrukt.

Soorten beperkingen:

* scleronomisch: Beperkingen die niet van tijd afhankelijk zijn.

* Rheonomisch: Beperkingen die van tijd afhangen.

* ideaal: Beperkingen die geen energie afwijken.

* niet-ideaal: Beperkingen die energie afwijken (bijv. Wrijving).

gevolgen van beperkingen:

* Verminderde vrijheidsgraden: Beperkingen verminderen het aantal onafhankelijke coördinaten die nodig zijn om de configuratie van het systeem te beschrijven.

* krachten van beperking: Beperkingen kunnen krachten op het systeem uitoefenen om te voorkomen dat het de beperking overtreedt. Deze krachten worden beperkingskrachten genoemd.

* Lagrange Multipliers: Een krachtige wiskundige techniek voor het opnemen van beperkingen in de bewegingsvergelijkingen.

Voorbeelden van beperkingen in real-world systemen:

* een slinger: De slinger Bob is beperkt om langs een cirkelvormige boog te bewegen.

* Een auto op een weg: De auto is beperkt om binnen de grenzen van de weg te bewegen.

* Een bal rolt op een tafel: De bal is beperkt om in contact te blijven met het tafeloppervlak.

Beperkingen begrijpen is cruciaal voor het oplossen van problemen in de klassieke mechanica omdat ze de dynamiek van het systeem en de krachten die erop werken aanzienlijk beïnvloeden. Door beperkingen in de bewegingsvergelijkingen te identificeren en op de juiste manier op te nemen, kunnen we het gedrag van het systeem nauwkeurig voorspellen.