De Fokker-Planck-vergelijking, ook bekend als de voorwaartse vergelijking van Kolmogorov, is afkomstig van de studie van stochastische processen , met name de Brownse beweging . Het beschrijft de tijdevolutie van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie van een systeem onder invloed van willekeurige krachten.

Hier is een uitsplitsing van zijn oorsprong:

1. Brownse beweging en Langevin -vergelijking:

* De fundering ligt in de observatie van Brownse beweging, de schijnbaar willekeurige beweging van deeltjes gesuspendeerd in een vloeistof.

* Albert Einstein en Marian Smoluchowski legde deze beweging uit met behulp van statistische mechanica, waaruit blijkt dat het wordt veroorzaakt door het continue bombardement van de deeltjes door de moleculen van de omliggende vloeistof.

* Paul Langevin Later geformuleerd een differentiaalvergelijking (Langevin -vergelijking) om de beweging van een deeltje te modelleren die onderworpen is aan zowel een deterministische kracht (bijvoorbeeld wrijving) als een willekeurige kracht.

2. Langevin verbinden met waarschijnlijkheid:

* De Langevin -vergelijking beschrijft het traject van een enkel deeltje. Om het collectieve gedrag van veel deeltjes te begrijpen, moeten we werken met waarschijnlijkheidsverdelingen.

* Andrey Kolmogorov en Adriaan Fokker Onafhankelijk ontwikkeld de Fokker-Planck-vergelijking door een probabilistische benadering van de Langevin-vergelijking toe te passen.

3. Afleiding:

* Ze gebruikten het idee van een diffusievergelijking , die de verspreiding van een stof beschrijft vanwege willekeurige beweging.

* Door de drift- en diffusietermen in de Langevin -vergelijking te overwegen, hebben ze een gedeeltelijke differentiaalvergelijking afgeleid die de tijdevolutie van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie regelt.

4. Belangrijkste bijdragen:

* Fokker gericht op het afleiden van de vergelijking aan een specifiek fysiek model, terwijl planck werkte aan zijn wiskundige kader.

* Kolmogorov Later generaliseerde de vergelijking om een ​​bredere klasse van stochastische processen te beschrijven, wat leidde tot de naam Kolmogorov voorwaartse vergelijking.

In wezen overbrugt de Fokker-Planck-vergelijking de kloof tussen de deterministische beschrijving van individuele deeltjesbeweging (Langevin-vergelijking) en de probabilistische beschrijving van het collectieve gedrag van veel deeltjes (waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie).

Toepassingen:

De Fokker-Planck-vergelijking heeft wijdverbreide toepassingen op verschillende gebieden gevonden, waaronder:

* Natuurkunde: Brownse beweging, diffusieprocessen, plasmalysica

* chemie: Chemische kinetiek, reactiediffusiesystemen

* Biologie: Populatiedynamiek, genexpressie

* Financiën: Optieprijsmodellen, prijzen voor activa

Het is een krachtig hulpmiddel voor het begrijpen en voorspellen van het gedrag van systemen die onderworpen zijn aan willekeurige schommelingen.