Je zit in de wiskundeles en probeert je laatste popquiz te overleven. Het zweet druppelt over je voorhoofd terwijl je de opdracht leest:'Vind de afstand tussen deze punten.'

De afstandsformule waarnaar je op zoek bent, is redelijk eenvoudig en houdt verband met een van de nuttigste en beroemdste concepten in de hele wiskunde:de stelling van Pythagoras.

1. Wat is de afstandsformule?
2. Het puntcoördinatenvlak begrijpen
3. De stelling van Pythagoras en de afstandsformule
4. Hoe u de afstand tussen twee punten kunt vinden

Wat is de afstandsformule?

De afstandsformule is een algebraïsche vergelijking die wordt gebruikt om de lengte van een lijnsegment tussen twee punten in een grafiek te vinden. Dit wordt het Cartesiaanse coördinatensysteem genoemd (ook wel het puntcoördinatenvlak genoemd).

Dit tweedimensionale vlak wordt gedefinieerd door twee loodrechte assen (meestal de x-as en de y-as genoemd) die elkaar snijden in een centraal punt dat de oorsprong wordt genoemd. Zo wordt het uitgedrukt:

In een tweedimensionale ruimte met twee punten P (x₁, y₁) en Q(x₂, y₂) wordt de afstand (d) tussen deze twee punten gegeven door de formule:d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

In een driedimensionale ruimte met twee punten P(x₁, y₁, z₁) en Q(x₂, y₂, z₂) wordt de afstand (d) tussen deze twee punten gegeven door de formule:d =√ (x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Vervolgens gaan we dieper in op het puntcoördinatenvlak, waarmee u exacte plekken kunt vinden aan de hand van hun horizontale en verticale positie, essentieel voor alles, van wiskundige problemen tot GPS-navigatie.

Het puntcoördinatenvlak begrijpen

Wanneer de meeste mensen het woord 'grafiek' horen, stellen ze zich een diagram voor met twee lijnen (een verticaal en een horizontaal) die elkaar in een rechte hoek snijden.

De verticale lijn wordt de y-as genoemd en de horizontale tegenhanger ervan is de x-as. Beide lijnen werken samen om een ​​verhaal met data te vertellen.

Als je wilt weten waar een punt in je grafiek ligt, meet dan waar het valt langs de twee dimensies (de x-as en de y-as). Deze staan ​​bekend als de coördinaten van het punt.

U moet de coördinaten van het eerste punt en het tweede punt vinden voordat u de afstand daartussen kunt berekenen. U gebruikt de afstandsformule om het rechte lijnsegment te meten dat de twee punten verbindt.

Laten we nu eens kijken naar de gelukzalige relatie tussen de stelling van Pythagoras en de afstandsformule.

De stelling van Pythagoras en de afstandsformule

De stelling van Pythagoras is vernoemd naar de Griekse filosoof Pythagoras, maar ruim een ​​millennium vóór zijn geboorte begrepen de oude Babyloniërs al het geometrische principe dat nu met zijn naam wordt geassocieerd.

In wezen vertelt de stelling van Pythagoras ons hoe we de langste zijde van een driehoek kunnen vinden als we de lengtes van de andere twee zijden kennen, en de afstandsformule gebruikt dit idee om te meten hoe ver twee punten uit elkaar liggen in een grafiek door de punten te behandelen alsof ze zich op de hoeken van een rechthoekige driehoek bevinden.

Voor degenen die een snelle opfrisser nodig hebben, zegt de stelling van Pythagoras:De oppervlakte van het vierkant gebouwd op de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de oppervlakten van de vierkanten op de overige zijden.

Er zijn een paar belangrijke punten die u hier moet begrijpen. Een rechthoekige driehoek, of rechthoekige driehoek, heeft één hoek van 90 graden, ook wel een rechte hoek genoemd. De langste zijde van deze driehoek wordt de hypotenusa genoemd, die tegenover de rechte hoek ligt.

Zoals we allemaal weten, heeft een driehoek misschien drie zijden, maar een vierkant heeft er vier. Stel je dus voor dat je de hypotenusa van een rechthoekige driehoek neemt en deze in een van de vier lijnen van een gloednieuw vierkant verandert. Doe vervolgens hetzelfde met de andere twee zijden van de oorspronkelijke driehoek. Je krijgt dan drie individuele vierkanten.

Volgens de stelling van Pythagoras heeft het vierkant gevormd door de hypotenusa een oppervlakte die gelijk is aan de som van de oppervlakten van de vierkanten gevormd door de andere twee zijden. Als de hypotenusa het label 'c' heeft, en de andere twee zijden het label 'a' en 'b', dan kunnen we dat idee als volgt uitdrukken:

Hoe u de afstand tussen twee punten kunt vinden

Het eerste punt en het tweede punt in uw grafiek hebben elk een x-coördinaat en een y-coördinaat. Je kunt de kortste afstand tussen deze twee punten berekenen met behulp van de Euclidische afstandsformule, een algebraïsche uitdrukking die verband houdt met de stelling van Pythagoras.

D =√(x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)²

Hier, D staat voor ‘afstand’. Wat x₂ en x₁ betreft, ze verwijzen naar de x-coördinaten van respectievelijk punt 2 en punt 1. Hetzelfde geldt voor y₂ en y₁, behalve dat dit de twee y-coördinaten zijn.

Om de afstand te berekenen, is onze eerste stap het aftrekken van x₁ van x₂. Vervolgens moeten we het resulterende getal met zichzelf vermenigvuldigen (of, met andere woorden, dat getal "kwadrateren").

Daarna moeten we y₁ aftrekken van y₂ en vervolgens het antwoord kwadrateren dat we hierdoor krijgen. Hierdoor blijven er twee getallen over die we bij elkaar moeten optellen.

Neem dan ten slotte dat getal en bepaal de wortel ervan. En die vierkantswortel , dames en heren, is onze afstand.

Voorbeeld afstandsformule

Oké, laten we zeggen dat punt A een x-coördinaat van 2 en een y-coördinaat van 5 (2,5) heeft. Laten we ook aannemen dat punt B een x-coördinaat van 9 en een y-coördinaat van 13 (9,13) heeft. Voer deze waarden in de handige formule in en je krijgt dit:

D =√(9-2)² + (13-5)²

Hoeveel is 9 min 2? Makkelijk, 7. En 13 min 5 is natuurlijk 8.

Nu houden we dit over:

D =√7² + 8²

Als je 7 "kwadraat" (zoals in het vermenigvuldigen van het getal met zichzelf) krijg je 49. Wat betreft 8 kwadraat komt dat neer op 64. Laten we die waarden in de vergelijking stoppen, hè?

D =√49 + 64

Nu zijn we aan het koken. Voeg 49 en 64 toe en je krijgt 113.

D =√113

Wat is de wortel van 113? Het antwoord is 10,63, dus daarom:

D =10,63

Ga aan de slag en win je volgende popquiz!

Dit artikel is bijgewerkt in combinatie met AI-technologie, vervolgens op feiten gecontroleerd en bewerkt door een HowStuffWorks-editor.

Dat is interessant

Pythagoras was vegetariër. Zoals Tristam Stuart schrijft in zijn boek uit 2008, ‘The Bloodless Revolution:A Cultural History of Vegetarisme:van 1600 tot de moderne tijd’, onderschreef de oude Griekse filosoof ‘het idee dat alle levende wezens verwant zijn, en het daaruit voortvloeiende dat dit verkeerd was’. om dierenleed te veroorzaken."